Bräuchte Hilfe bei Stochastikaufgabe/Erwartungswert/Faires Spiel:)?
Folgendes: Ein Spieler zahlt 1€ Einsatz und wirft 3 ideale Würfel. Erscheint dabei die 6 ein-, zwei bzw. dreimal, so erhält er seinen Einsatz zurück und außerdem einen Gewinn von 1€, 2€ bzw. 3€. Erscheint keine 6, ist der Einsatz verloren.
E(X) = -0,08
Welchen Einsatz müsste der Spieler bezahlen, damit ein faires Spiel entsteht?
In den Lösungen steht: (1* 27/72) + (2* 5/72) + (3* 1/216) + (x* 125/216) = 0
aufgelöst = x = -0,864
Meine Frage: Warum wird nur bei dem Gewinn von -1 das "x" gesetzt, und nicht auch bei 1,2 und 3 ?Bei einer anderen Aufgabe habe ich nähmlich gesehen das alle zur variablen x verändert wurden. Da ging es auch darum den Einsatz zu finden um ein Faires Spiel zu schaffen. Dort wurde dann immer: "die Auzahlung - x * die Wahrscheinlichkeiten" gerechnet aber warum hier nicht =?
LG
2 Antworten
Schaue mal auf diese Webseite, auf Seite 9 -->
http://stormarnschule.net/archiv/fach/mathe/Wahrscheinlichkeitsverteilungen1.pdf
Hilfreich ist außerdem diese Webseite -->
http://matheguru.com/stochastik/164-bernoulli-kette.html
n = 3
k = Anzahl der erscheinenden Sechsen
p = 0.16666666666666666...
Es muss nun folgendes gelöst werden -->
- x * 0.578703703703704 + 1 * 0.347222222222222 + 2 * 0.069444444444444 + 3 * 0,00462962962963 = 0
Dabei ist 1 * 0.347222222222222 + 2 * 0.069444444444444 + 3 * 0,00462962962963 = 0.5
0.578703703703704 = (5 / 6) ^ 3
-x * 0.578703703703704 + 0.5 = 0
x * (5 / 6) ^ 3 = (1 / 2)
x = (1 / 2) / ((5 / 6) ^ 3)
x = 0,864 €
Also darf der Spieler nur zum bezahlen von 86 Cent verpflichtet werden, damit das Spiel fair ist.
Bei dem Minuszeichen, was du da stehen hast, handelt es sich schlicht und einfach um einen Rechenfehler, das heißt nicht -0.864 sondern +0,864
Warum nur vor der (5 / 6) ^ 3 das x gesetzt wird, kannst du anhand der Webseite erkennen, die ich gepostet habe !
Erstmal Danke für deine Mühe.
Bei dieser Aufgabe:
e= 2€ Spieleinsatz
Betrachten des Gewinns von Spieler A
Auszahlung an A 0€ 1€ 2€ 3€ 4€
Gewinn gi -2€ -1€ 0€ 1€ 2€
P(G=gi) 0,2 0,2 0,4 0,1 0,1
E(X) = -0,3 ct
Damit das Spiel fair ist, wird der Einsatz verändert:
Gewinn gi -e€ (1-e)€ (2-e)€ (3-e)€ (4-e)€
P(G=gi) 0,2 0,2 0,4 0,1 0,1
E(X) = 0
=-0,2e + 0,2(1-e) + 0,4(2-e) + 0,1(3-e) + 0,1(4-e)
=-e +1,7 == fairer Einsatz 1,70€
Warum ist diese Aufgabe jetzt anders gelöst wurden als die Erste?
Bei beiden suche ich ja den Einsatz, damit das Spiel fair ist.
Ohne die genaue Aufgabe zu kennen, kann ich dir nichts nützliches sagen.
Ich schlage vor, du stellst noch mal eine Frage auf GF oder woanders rein, und zwar mit dem ganz genauen Wortlaut der Aufgabe.
Scheinbar wurde diesmal mit 4 Würfeln gewürfelt ??, oder sehe ich das falsch, egal, stelle am besten noch mal eine Frage, und zwar vernünftig, so dass man alle Informationen hat !
Genauso steht die Aufgabe dort. Das hat nichts mehr mit Würfeln oder so zu tun. Anscheinend einfach generell z.b Spieler A setzt 2 € bekommt 0 € Auszahlung also -2€ gewinn und so weiter
Dann kenne ich die Antwort nicht, also deinen Lehrer fragen, dafür ist der da.
Hallo,
bei der Lösung stimmt etwas nicht, und zwar die 27/72. Es muß 25/72 heißen, das ist nämlich die Wahrscheinlichkeit dafür, daß bei drei Würfen genau eine Sechs erscheint:
3*(1/6)*(5/6)²=75/216=25/72
Sonst würde nämlich die 125 am Schluß nicht stimmen.
Es gibt bei drei Würfeln insgesamt 216 Kombinationen.
Eine davon sind 3 Sechsen, denn die Wahrscheinlichkeit, drei Sechsen zu würfeln, liegt bei (1/6)³=1/216.
2 Sechsen berechnen sich nach 3*(1/6)²*(5/6)=15/216; multiplizieren mit 3 mußt Du, weil die andere Zahl an erster, zweiter oder dritter Stelle erscheinen kann.
1 Sechs: 3*(1/6)*(5/6)²=75/216
Unter den 216 möglichen Kombinationen hast Du also einmal eine Sechs und erzielt 3 Euro Gewinn.
15mal 2 Sechsen ergeben einen Gewinn von 2*15=30 Euro
75mal 1 Sechs ergibt einen Gewinn von 75 Euro.
Bei den restlichen 125 Kombinationen bekommst Du nichts.
Du kannst also, wenn Du 216 mal würfelst und dabei jede mögliche Kombination genau einmal erscheint, insgesamt 3+30+75=108 Euro gewinnen.
Wenn Du pro Spiel einen Euro bezahlst, hast Du aber 216 Euro ausgegeben, es bleibt ein Verlust von 108 Euro.
Da sich Einsatz und Verlust bei einem fairen Spiel die Waage halten müssen,
dürftest Du für 216 Spiele nur 108 Euro zahlen, was einen Einsatz von 108/216=0,50 Euro erfordert.
Bei der Berechnung solcher Gewinnerwartungen wird immer davon ausgegangen, daß jede mögliche Kombinationen bei einer Serie pro Wurf genau einmal erscheint, auch wenn dies im wirklichen Leben natürlich fast nie vorkommt.
Herzliche Grüße,
Willy
Einfach ausgedrückt -->
Weil er nur beim Erscheinen von Null (also keinen) Sechsen, seinen Einsatz verliert.