Bitte helft mir wichtig! Was beeinhaltet die Gausche Summenformel?
Ich muss ein Referat über die Gaussche Summenformel machen.... Sie ist ja n*( n+1 ) : 2 ist das nur auf 1+2+3+4+5.....bis z.B 100 bezogen oder kann man damit auch noch etwas anderes errechnen ???
5 Antworten
DIe Formel kann allgemein verwendet werden, um die Summe aller natürlichen Zahlen von 1 bis n zu berechnen, ohne irgendwelche Begrenzungen, falls Deine Frage so gemeint war.
Eine Anwendung ist - wie schon AlexUhg genannt - die Berechnung der sogenannten "Dreieckszahlen".
In der Realität braucht man die z. B., wenn man die Anzahl der Paarungen in einem Sport-Turnier im "jeder gegen jeden"-Modus bestimmen will. Zum Beispiel besteht die Hinrunde der Fußball-Bundesliga (18 Mannschaften) aus 17*(17+1)/2 = 153 Spielen.
Auch in der Informatik kommen die Dreieckszahlen und somit die Gauß'sche Summenformel vor. Willst Du z. B. 10 Zahlen nach dem "Bubblesort"-Verfahren sortieren, benötigst Du (im ungünstigsten Fall) 9*(9+1)/2 = 45 Vertauschungen.
Schon für die Pythagoräer hatte die Dreickszahl 10 eine besondere Bedeutung, sie hatten einen Lehrsatz: "1 - der Punkt, 2 - die Linie, 3 - die Fläche, 4 - der Raum: Damit hast Du die Welt verstanden", 1 + 2 + 3 + 4 = 10
Die Formel n*(n+1)/2 gibt die Summe aller Zahlen von 1 bis n an. Wie jede andere mathematische Formel ist es zunächst ziemlich abstrakt und es kommt darauf an, worauf man die Formel anwendet. Es kann ja verschiedene Gründe geben, alle so eine Summe auszurechnen.
Zum Beispiel wenn man Kugeln am Tisch in Form eines Dreiecks anordnet, dann ist an der Spitze nur eine Kugel, in der nächsten Reihe 2, dann 3 und so weiter, d.h. in der n-ten Reihe liegen n Kugeln. Will man nun die Anzahl aller auf dem Tisch liegenden Kugeln bestimmen, kann man die Anzahl der Reihen abzählen und in die Formel einsetzen.
Es gibt natürlich verschiedene andere Anwendungsfälle. Neben der Anekdote über den kleinen Gauß, wie er auf die Formel kam, könnte man im Referat auch ein Paar interessante Beispiele anbringen.
In deiner Form gilt das nur für die Summe aller natürlichen Zahlen von 1 bis n. Wenn du noch a * n addierst (also a * n + n(n+1)/2), dann hast du die Summe aller natürlichen Zahlen von a bis a+n.
Vielen Dank für die schnelle Antwort meine Frage wäre jetzt hat das dann noch was mit der GAUSSCHEN Formel zu tun oder wäre das ein anderes Thema ?? Weiß du das auch ?
Ich finde den Bezug zur Integralrechnung am interessantesten, diese Summenformel entspricht ja sowas wie dem Integral von f(x) dx, nur halt in diskreten 1er Schritten. Beispiel: für n=3 erhält man nach der Gauß'schen Summenformel 6.
Bildet man für das o.g. Integral f(x) = x die Stammfunktion ist das F(x) = 1/2 x^2. Setzt man nun als untere Grenze 0,5 ein und für die obere 3,5 (die Säule ragt ja jeweils eine halbe Einheit noch vorne und hinten raus) erhält man auch 0,5 * (12,25 - 0,25) = 6.
Siehe auch http://www.math.uni-bonn.de/people/ag/koch/elemente/Projekt01_SarahHillmannKirstenStahn.pdf
Hi,
spontan würde ich sagen nein. In einem Referat könntest du aber zum Beispiel verschiedene Beweise der Summenformel vorführen und eine Anekdote dazu ist sicher auch nicht verkehrt.