Gilt die Gausche Summenformel auch bei Aufgaben die nicht mit 1 Anfangen?
Wenn ich z.B 50 + 51........175 habe Kann mir bitte jemand erklären wieso dort die Summenformel nicht anwendbar ist ?
2 Antworten
Die Gauß'sche Summenformelgilt natürlich nur für die Fälle, für die sie gedacht ist, also für Summen, die mit der 1 beginnen.
Es gibt aber auch eine "allgemeinere" Formel für Summen von a bis (a+n), die lautet
a * n + n(n+1)/2
In Deinem Beispiel ist a = 50 und (a+n) = 175, also n = 175 - 50 = 125. [Achtung! n ist in dieser Formel nicht die letzte Zahl, sondern die Differenz zwischen der letzten und der ersten Zahl!] Dann ist die gesuchte Summe
50 * 125 + 125 * 126 / 2 = 6250 + 7875 = 14125
Du weißt:
1 + 2 + .... + 175 = 175 * 176 / 2. Wenn nun auch
50 + 51 + ... + 175 = 175 * 176 / 2 wäre, dann wäre
1 + 2 + ... + 175 = 50 + 51 + ... + 175. Nun kann man auf beiden Seiten die Summanden ab 50 wegsubtrahieren und es bleibt übrig:
1 + 2 + ... + 49 = 0. Das ist aber offensichtlich falsch.
Dieses Beispiel zeigt aber, wie man die Summenformel bei solchen Aufgaben über einen kleinen Umweg trotzdem nutzen kann:
Du weißt, dass 1 + 2 + ... + 175 = 175 * 176 / 2 ist. Aber du wolltest nur
50 + 51 + ... + 175 ausrechnen. Du hast also die Summe 1 + 2 + ... + 49 zu viel. Diese kannst du aber ebenfalls nach der Gauß'schen Summenformel ausrechnen:
1 + 2 + ... + 49 = 49 * 50 / 2. Also:
50 + 51 + ... + 175 = 175 * 176 / 2 - 49 * 50 / 2 = 14175...
Warum genau sollte es? Du addierst bei
50 + 51 + ... + 175 weniger, als bei
1 + 2 + ... + 175. Also muss doch auch weniger herauskommen...
Aber 175 * 225 ist offensichtlich mehr als 175 * 176.
Die 176 kommen nicht direkt daher, dass die letzte Zahl 175 und die erste Zahl 1 ist und 175 + 1 = 176 ist ;)
50 + 51 + ... + 175 = warum 175 * 176 warum nicht 175 * 225 ?