Aufeinandefolgende Zahlen?
Aus den Zahlen von 1 bis 100 werden 51 aufeinanderfolgende ausgewählt. Zeigen Sie, dass unter ihnen zwei sind, von denen die eine doppelt so groß ist wie die andere. Gilt das auch, wenn man 50 aufeinanderfolgende Zahlen auswählt?
2 Antworten
Hallo sternchen504,
es lohnt sich eigentlich immer besonderen Werten einen Namen zu geben. Seien also die aufeinanderfolgenden Zahlen
Wir haben also die kleinste der aufeinanderfolgenden Zahlen x genannt. Falls nun von einer dieser Zahlen das Doppelte ebenfalls in der Menge enthalten ist, dann behaupte ich gilt dies insbesondere für eine spezielle Zahl unter den oben genannten. Um dir nicht den ganzen Beweis aufzuschreiben, darfst du dir nun überlegen welche das ist und warum. ;)
Anschließend würde ich basierend auf der vorherigen Überlegung einen Widerspruchsbeweis beginnen. Dann erhält man relativ schnell eine wichtige Eigenschaft, die einem hilft das Ganze zu lösen.
Versuch mit diesem Hinweis das Problem nochmal anzugehen. Wenn du Hilfe benötigst, kannst du dich gerne nochmal melden.
Viele Grüße
Tut mir leid für die Verspätung meiner Antwort. Dein Denkansatz ist soweit richtig. Die Aussage
"Zeigen Sie, dass unter ihnen zwei sind, von denen die eine doppelt so groß ist wie die andere."
sagt nur aus, dass es zwei gibt, jedoch nicht dass es nicht mehr als zwei geben kann. Würde man in der Aussage fordern wollen, dass es auch nicht mehr als zwei solche Zahlen geben darf, würde man die Aussage wie folgt umformulieren:
Zeigen Sie, dass unter ihnen exakt/genau zwei sind, von denen die eine doppelt so groß ist wie die andere.
Das ist jedoch hier nicht der Fall. ;)
Dann folgt nun (etwas verspätet, tut mir leid) ein neuer Hinweis:
Nehmen wir die oben genannte Folge als Beispiel. Wir wählen also die Zahlen 15-65 aus. In meiner vorgeschlagenen Notation ist also x = 15 und es gibt auch zu x ein Doppeltes in der Folge.
Betrachten wir noch die Randfälle als "Inspiration":
Wählen wir x=1, d.h. die Zahlen 1-51, so ist ebenfalls von x das Doppelte drin. Wählen wir hingegen x=50, d.h. die Zahlen 50-100, so gilt diese Aussage auch. Tatsächlich ist in diesem Fall x sogar die einzige Zahl für die ihr Doppeltes auch in der Folge liegt. Nun liegt folgende Aussage nahe:
Falls es in der Folge zwei Zahlen gibt, so dass eine doppelt so groß ist, wie die andere, so gilt dies insbesondere für x.
Zeigen wir das nun mal. ;)
Seien also y und 2y in der Folge enthalten. Da x die kleinste Zahl aus der Folge ist, gilt x <= y, also auch 2x <= 2y. Da 2y noch in der Folge enthalten ist, ist somit auch 2x enthalten, was zu zeigen war.
Damit reicht es nun zu prüfen, ob für eine gewählte Folge das Doppelte der kleinsten Zahl x dieser Folge enthalten ist. Falls das nicht der Fall ist, so gilt es nach der eben gezeigten Aussage auch für keine zwei Elemente der Folge. ;)
Hallo @Chemiefuchs,
danke für den Denkansatz. Aber ich verstehe die Aufgabe gar nicht so richtig.
Angenommen ich wähle jetzt die Zahlen 15-65 aus. Das sind ja dann 51 aufeinanderfolgende Zahlen. Dann hätte ich ja als Beispiel die 30 doppelt so groß wie die 15 oder die 32 ist doppelt so groß wie die 16 usw.
Aber das sind ja viel mehr als nur zwei?!
Kannst du mir dabei auch helfen?
Ja, es sind mehr als nur zwei. Aber es sind eben auch zwei. Und das sollst Du zeigen. Dass es also in dem Abschnitt immer zwei geben wird. Wenn Du das gezeigt hast, hast Du die Aufgabe gelöst. Wieviel es sonst noch gibt, ist egal.
Da steht ja nicht: Genau 2 Zahlen.
Die Formulierung ist in der Mathematik sehr wichtig.
Es muss immer genau die Aufgabe gelöst werden so, wie sie da steht.
Wenn dort steht: Zeige, dass eine Zahl kleiner als 10 durch 2 teilbar ist, reicht es, wenn Du es bei einer Zshl zeigst. Wieviel es sonst noch gibt, ist egal.
Hallo @Chemiefuchs,
danke für den Denkansatz. Aber ich verstehe die Aufgabe gar nicht so richtig.
Angenommen ich wähle jetzt die Zahlen 15-65 aus. Das sind ja dann 51 aufeinanderfolgende Zahlen. Dann hätte ich ja als Beispiel die 30 doppelt so groß wie die 15 oder die 32 ist doppelt so groß wie die 16 usw.
Aber das sind ja viel mehr als nur zwei?!
Kannst du mir dabei auch helfen?