Binominalkoeffizient?
Ich habe eine Frage zu der angehängten Aufgabe und Lösung. Als erstes wird der Satz für den Fall "Ohne Beachtung der Reihenfolge mit Zurücklegen angewandt und dann setzt man die Werte in die Formel für den Fall "Ohne Beachtung der Reihenfolge ohne zurücklegen ein". Das ist mir nicht schlüssig. Wie kommt man darauf? Warum lässt es sich kombinieren?
3 Antworten
Hallo,
es handelt sich um das Modell Ziehen mit Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge. Dabei geht es um die Anzahl der verschiedenen Möglichkeiten, k nicht zu unterscheidende Elemente auf n Plätze zu verteilen. Da die Elemente ununterscheidbar sind, spielt die Reihenfolge keine Rolle. Gefragt ist ja nur nach der Anzahl der Spatzen auf dem jeweiligen Baum, nicht, ob es Spatz Fritz oder Spatz Karla ist. Ohne Zurücklegen ist es deshalb, da die Bäume jedem Spatzen aufs neue zur Verfügung stehen. Wenn ein Spatz auf einem Baum gelandet ist, ist dieser Baum ja nicht aus dem Rennen, sondern er steht auch dem nächsten Spatz zur Verfügung.
Modellmäßig sieht es so aus: Die zehn Spatzen sitzen um eine Urne herum, in der sich drei Kugeln mit den Nummern 1, 2 und 3 befinden, wobei die 1 für den ersten Baum, die 2 für den zweiten, die 3 für den dritten steht.
Die Spatzen ziehen einer nach dem anderen eine Kugel aus der Urne, merken sich die Zahl darauf und legen die Urne wieder zurück. Anschließend fliegen sie auf den Baum mit der Nummer, die sie gezogen haben.
Da der zehnte und letzte Spatz die Kugel nicht mehr zurückzulegen braucht, denn nach seinem Zug ist die Verlosung beendet, werden die Kugeln nur k-1=neunmal zurückgelegt. Das macht drei Kugeln, die zu Beginn in der Urne sind, und neun zurückgelegte, was 12 ergibt. Die lassen sich auf 12 über 10 Arten auf die Spatzen verteilen, was 66 ergibt. Die Wahrscheinlichkeit, daß alle Spatzen die Nummer 1 gezogen haben, liegt demnach bei 1/66, denn das ist eine der 66 unterschiedlichen Verteilungen. Da es aber egal ist, auf welchem Baum alle sitzen, sind auch die Kombinationen alle auf Baum 2 und alle auf Baum 3 ein gewünschtes Ergebnis.
Daher gibt es drei gewünschte von 66 möglichen Ergebnissen, was eine Wahrscheinlichkeit von 3/66=1/22 ergibt.
Herzliche Grüße,
Willy
Es ist die Formel "mit Zurücklegen".
Kann mir bitte jemand die Aufgabe mal Schritt für Schritt durchrechnen mit Erläuterungen? Danke schön
dann setzt man die Werte in die Formel für den Fall "Ohne Beachtung der Reihenfolge ohne zurücklegen ein".
Diesen Part verstehe ich nicht.
Der Bimomialkoeffizent mit 12 über 10 ergibt sich ja daraus, dsas man einfach n+k-1 ausrechnet.
(n+k-1) über k bezieht sich auf das Modell Ziehen mit Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge. Genau dies ist in der Aufgabe der Fall.
Ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge ist das Modell Lotto. Hier lautet die Formel n über k. Dieser Fall mit den Spatzen und den Bäumen ist aber nicht das Modell Lotto.
Ja, aber warum rechne ich n+k-1? In meinem Lehrbuch steht es unter der Spalte Ohne Reihenfolge ohne Zurücklegen. Darauf bezieht sich das. Die Formel, die man dann aber verwendet, ist in der Spalte mit Zurücklegen