Beweisen - Mathematik - Ansatz - Denkschema?
Hier sollen viele Dinge bewiesen werden, doch irgendwie kann ich nicht beweisen, ich weiß auch nicht, was da konkret gefordert ist, es ist ja auch keine stumpfe Abarbeitung von Aufgaben
ich weiß weder, worauf es ankommt, noch, wie ich darauf komme, was überhaupt gefordert ist
Die Wege verstehe ich zwar, wenn sie bewiesen werden, aber der Ansatz des Beweisens an sich stellt mich vor ein Rätsel
jedoch müssen hier viele Dinge bewiesen werden
Ich weiß vermutlich, wie anwendungsorientiertes Denken funktioniert, aber was ist überhaupt mathematisches Denken und worauf kommt es da überhaupt an?
Was ist Beweisen überhaupt?
Und warum wirken sämtliche Beweise, die ich sehe, immer so unintuitiv?
Wie soll ich denn da auf die Idee kommen, dass ich genau das machen sollte?
2 Antworten
Man kann die Mathematik als Gebäude sehen und die Sätze als Bausteine. Unten sind Axiome, Sätze die man als gegeben annimmt. Darauf baut man die anderen Sätze auf. Man folgert aus den vorhergehenden immer weitere.
Man kann einen mathematischen Satz auch als Zahl sehen. Folgerungsregeln sind Abbildungen, die einer Zahl eine weitere zuordnen. Beim Beweisen stellt man dar, welche dieser Folgerungsregeln man verwendet, um von einem gegebenen Satz auf den zu beweisenden zu kommen.
Beispiel:
Axiome: Die Sätze 6 und 8 sind wahr.
Folgerungsregeln: Summen und Differenzen aus je zwei wahren Sätzen sind wieder ein wahrer Satz. Ein um 1 verkleinerter wahrer Satz ist falsch.
Zu Zeigen: 10 ist ein wahrer Satz
Beweis: Wegen 2 = 8 - 6 ist auch 2 wahr und wegen 10 = 2 + 8 ist auch 10 wahr.
q.e.d.
In der Mathematik ist abstraktes Denken gefordert. Durch Übung wird man besser und lernt auch typische Beweisstrategien oder Strukturen, wie man einen Beweis konstruieren könnte. In meinem Beispiel hilft es sich mit Teilbarkeit und dem Euklidischen Algorithmus auszukennen und dann kann man beliebige Zahlen leicht beweisen, ob sie wahr oder falsch sind. Auch bei den üblichen Axiomensystemen der Mathematik lernt man mit der Erfahrung, wie man Sätze beweist.
Es gibt aber auch Sätze, die tatsächlich sehr schwer zu beweisen sind. Es gibt auch Sätze die unbeweisbar sind, sodass man bei Sätzen, wo man bis jetzt keinen Beweis gefunden hat, nicht weiß, ob auch wirklich einer existiert.
So etwas kommt mit der Zeit. Auch ich habe Beweise noch nicht wirklich drauf. Mir hilft das Üben mit alten Mathematikolympiadeaufgaben.