Berechnung des kleinsten bzw. größten Wertes einer Terms
Hallo, ich habe folgende Frage. Als Mathe-Hausaufgabe habe ich folgendes aufbekommen:
Welche Zahl muss man für x einsetzen, damit der Term seinen kleinsten bzw. größten Wert annimmt. Berechne.
Der Term: x²-8x+25
Ich habe jetzt schon herausgefunden, dass es damit zusammenhängt ob x² positiv oder negativ ist, ob es sich um ein Minimal oder Maximalwert handelt (vgl, Parabel).
Im Lösungsbuch steht: Das Minimum ist 9, wenn x=4 ist.
Nur gibt es ja dann keinen Lerneffekt ;) Daher würde ich mich über eine Lösungsformel o.ä. sehr freuen.
Dankeschön!
5 Antworten
1) Untersuch die Ränder des Definitionsbereichs:
x=-oo: T(x) = x²-8x+25 = + oo
x= + oo: T(x)= x²-8x+25 = + oo
Der größte Wert ist +oo
2) Ableitung ausrechnen und gleich Null setzen:
T(x)= x²-8x+25
T '(x)= 2x-8 = 0 =>
x= 4
2. Ableitung ist größer als Null => T(4) ist ein MinimumT(4) = 4² - 8 * 4 + 25 = 9
Der kleinste Wert ist 9
wenn ihr noch keine Ableitung hattet, dann Scheitelform mit quadr. Ergänzung machen
(x-4)² -4² + 25 = (x-4)² + 9 also S(4/9)
Die erste Ableitung einer Funktion liefert Dir die Steigung. Hier ist die erste Ableitung:
f'(x) = 2 x - 8
Bei einem Minimum oder Maximum ist die Steigung null. Daher schauen wir, für welche x die Ableitung 0 ist:
0 = 2 x - 8 <=> x = 4
Also haben wir bei x = 4 die Steigung 0 (also Minimum, Sattelpunkt oder Maximum)
Nun schauen wir, wie der Funktionswert bei 4 ist:
f(x) = 4² - 8*4 + 25 = 9
Gut, der fragliche Punkt liegt also bei (4 ; 9)
Nun schauen wir, ob es sich um ein Minimum, Maximum oder eine Sattelstelle handelt:
Darüber gibt uns die zweite Ableitung Auskunft:
f''(x) = 2
Da sie größer als 0 ist, handelt es sich um ein Minimum. (Für ein Maximum wäre sie kleiner als 0 und für einen Sattelpunkt wäre sie 0)
Erste Ableitung bilden und 0 setzen, nach x auflösen.
Ob Min oder Max überprüft man, indem man eine kleinere und eine größere Zahl als x in f' einsetzt und wenn m von + nach - --> max, von - nach + --> min
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