Begrenztes Wachstum help?
Kann mir Jemand bei dieser Aufgabe helfen..:-)
3 Antworten
Ich würde hier zuerst die Funktion für die Temperatur aufstellen (Teil (2)), und dann die Funktion für die Erwärmungsgeschwindigkeit, denn diese ist die Ableitung der "Temperaturfunktion"...
Wie so eine Funktion mit begrenzter Zu-/Abnahme aussieht, ist sicher irgendwo vor dieser Aufgabe beschrieben (ich sehe da oben etwas mit Basis e; ich hätte hier einfach 0,88 als Faktor genommen, da die Differenz zwischen Raum- und Objekttemperatur ständig um 12% abnimmt)
also: f(t)=R-(R-M)q^t bzw. f(t)=R-(R-M)e^(-kt)
mit R=Raumtemperatur; M=Milchtemperatur bei t=0; t=Zeit in Minuten; q=Wachstumsfaktor; das k ist die Erwärmung in %, also hier 12%=0,12
ergibt: f(t)=25-(25-6)*0,88^t=25-19*0,88^t ("meine" Version) oder f(t)=25-19e^(-0,12t)
Das jetzt ableiten und Du hast Teil (1).
1) T´(t) = 0,12 * (25 - T(t))
Das ist eine Differentialgleichung. Deren Lösung schlägt man am besten in Mathetafeln nach.
2) T(t) = 25 - (25-6) * exp (-0,12 * t) = 25 - 19 * exp(-0,12t)
3) min/T
0/6
1/8,1
2/10,1
3/11,7
4/13,2
5/14,6
10/19,3
15/21,9
20/23,3
1) folgt direkt aus den Angaben in der Aufgabe. "In jedem Moment erwärmt sie sich um 12% pro Minute der noch herrschenden Temperaturdifferenz." Die Erwärmung ist die Änderung der Temperatur mit der Zeit, also dT/dt oder auch T´ (also die Ableitung der T-Funktion) geschrieben. 12% sind einfach das 0,12-fache. Und die Temperaturdifferenz ist 25° - T.
Zusammen also dT/dt = T´ = 0,12 * (25-T)
Kannst du mir vielleicht für 1) und 2) die allgemeinen Formeln aufschreiben ?
Für 1) gibt es keine allgemeine Formel. Man könnte z.B. nach der Formel fragen, wenn die Abkühlung eines Tees 5% des Quadrats der Temperaturdifferenz ist und der Raum 30° warm ist. Dann wäre es dT/dt = T´ = 0,05 * (30 - T)² .
Die Lösung der Differentialgleichung schlägt man am Besten nach. Wer gut integrieren kann, kann es auch selbst versuchen, indem er die Variablen trennt und integriert. Manchmal geht es, manchmal nicht. Nicht jede Differentialgleichung hat eine Lösung. Oft hat man eine Gleichung gefunden und es gibt einfach keine Lösung.
In deinem Fall
dT/dt = 0,12 * (25-T)
Integral 1/(25-T) dT von 6 bis T = Integral 0,12 dt von 0 bis t
ln((25-T)/(25-6)) = - 0,12 * t
(25-T)/(25-6) = exp(-0,12t)
25-T = (25-6) * exp(-0,12t)
-T = -25 + (25-6) * exp(-0,12t)
T = 25 - (25-6) * exp(-0,12t)
Wie kommst du eig auf die Formel bei 1)?