A*x=b => für welche b existiert eine Lösung?
3 2 4
2 5 -1
5 7 3
Oben angegeben Matrix A
Wie macht man sowas?
2 Antworten
Ich gehe mal davon aus, dass
gemeint ist.
Bringt man die erweiterte Koeffizientenmatrix mit Gauß-Algorithmus auf Zeilenstufenform...
... kann man ablesen, dass das Gleichungssystem genau dann lösbar ist, wenn
ist. Wegen
ist das Gleichungssystem Ax = b genau dann lösbar, wenn b von der Form
mit beliebigen Zahlen b₁, b₂ ist.
Man kann dann beispielsweise folgendermaßen weiter rechnen: https://i.imgur.com/8NaKD9k.png
Danke, also die Variablen bekommt man nicht weg. Dachte ich mir schon. Vl. hab ich mir das auch nur eingebildet, dass das mal wer gesagt hat :D
Nun, man prüft ob die Matrix A Rang 3 hat. Dazu wiederum kann man prüfen ob die Zeilen- (oder Spalten-) Vektoren linear unabhängig sind. Das wieder geht am einfachsten indem man entweder die Determinante von A ausrechnet (für n=3 gibt es da ein festes Verfahren) oder das Gausssche Eliminationsverfahren auf die Matrix anwendet.
Hat A Rang 3, so gibt es genau eine Lösung, unabhängig von b. Hat A einen Rang < 3, so kann es je nach b keine oder unendlich viele Lösungen geben. Um das rauszufinden, schleppt man im Gauß-Verfahren (b1, b2, b3)^T mit und schaut welche Bedingungsgleichungen für b1, b2 und b3 raus kommen.
Also Matrix hat Rang 2. Hätte es nämlich zuerst mit Inverse versucht und dann mit x multipliziert und dann geschaut aber das funktioniert mit Rang 2 leider nicht (glaub ich zumindest). Danke für den Tipp werd ich mal ausprobieren :)
Erstmal danke für die ausführliche Antwort. Wie kann man denn dann die Lösung der Gleichung bestimmen? Ist zwar nicht gefragt, aber ich meine mich erinnern zu können, dass jemand auf youtube das mal gesagt hat, dass man das kann. Aber wie bekommt man da die variablen weg?