Analytische Geometrie: wie löse ich dieses Problem mithilfe einer Extremwertaufgabe?
Ich hatte eine ähnliche Frage schonmal im Forum gestellt.
Aber ich soll sogar zwei Lösungswege angeben. Einen davon als Extremwertaufgabe. Genau daran scheitere ich gerade.
Die Koordinaten der Punkte:
S(0;0;40) , E(3;-2;30) , P(0,0,32)
Ziel ist eine Gerade, die senkrecht zu der Geraden SE steht und den Punkt P schneidet.
Und der Lösungsweg wie gesagt mit einer Extremwertaufgabe...
Viele Grüße und Danke im Voraus!
2 Antworten
Idee: einen beliebigen Punkt Q auf g nehmen, den Abstand zu P ansetzen und diesen dann minimieren (Extremum suchen). Die kürzeste Verbindung von P nach Q bzw. g muss automatisch senkrecht auf g stehen.
Gerade durch S und E:
g: x = (0/0/40) + s(3/-2/-10)
Jeder Punkt Q auf g hat dann die Koordinaten:
Q(3s/-2s/(40 -10s)
Vektor PQ:
PQ= Q - P = (3s/-2s/(8-10s)
Betrag PQ:
⎪PQ⎪ = √(9s^2 + 4s^2 + (8-10s)^2) = √(113s^2 - 160s + 64)
⎪PQ⎪ hat dort ein Minimum, wo auch der Ausdruck unter der Wurzel sein Minimum hat. Das liegt dort, wo die 1. Ableitung = 0 ist:
226s - 160 = 0
s = 80/113
Daraus ergibt sich:
Q(240/113 ; -160/113 ; 3720/113)
PQ = (240/113 ; -1160/113 ; 104/113)
h: x = (0/0/32) + t(240 / -160 / 104)
Proben:
liegt Q auf h?
x-Koordinate:
0 + 240t = 240/113
t = 1/113
y-Koordinate, t in h:
-160 t = -160/113....stimmt
z-Koordinate; t in h:
32 + 104/113 = 3720/113..stimmt auch.
orthogonal?
(3/-2/-10) * (240 / -160 / 104) = 720 + 320 - 1040 = 0
..stimmt auch.
Danke!! Du hast mir sehr geholfen!! Alleine hätte ich immernoch rumgerätselt.^^D
In der Aufgabe muss ein Lot von P auf die Gerade SE gefällt werden. Der Lotfußpunkt L auf der Gerade minimiert dabei den Abstand zu P.
Wenn sich ein Punkt auf der Gerade von S nach E bewegt, ist die Ableitung des Abstandes zu P proportional zum Skalarprodukt der Bewegungsrichtung und der Richtung zu P. Genau da wo das Skalarprodukt 0 ist die Ableitung des Abstandes auch 0.
Zunächst parametrisiert Du die Gerade:
L = S + λ(E - S)
Der Abstand der Punkte P und L soll minimiert werden:
||P - L|| → min
L hängt dabei von λ ab. Es wird also nach λ minimiert.
Wenn ich sie parametrisiere, dann erhalte ich diese Funktion:
L=(0;0;40)+λ(3;-2;-10).
Aber wie soll ich diese Funktion minimieren, wenn ich immernoch drei Parameter übereinander habe?
Okay, danke!
Aber wie bilde ich eine Ableitung wenn ich keine Funktion sondern nur drei Parameter für jeden Punkt habe und wie kann ich dann überhaupt eine Funktion aufstellen?