algebra und sigma algebra?
kennt sich irgendjemand mit sowas aus?
kann mir da jemand ein konkretes beispiel geben und daran erklären was der unterschied ist und was das überhaupt ist?
3 Antworten
Ok, ich weiß nicht, von wo du kommst, daher jetzt erstmal ein paar allgemeine Worte:
Eine Algebra im weiteren Sinne ist zunächst einmal eine mathematische Struktur, also in der Regel eine Menge mit Verknüpfungen, für die bestimmte Axiome gelten.
Eine Algebra im engeren Sinne (auch K-Algebra) ist ein K-Vektorraum mit einer Verknüpfung.
Eine sigma-Algebra ist eine Menge, deren Elemente Teilmengen einer bestimmten Grundmengen sind. Die Verknüpfungen sind in diesem Fall die üblichen Mengenoperationen (also Vereinigung, Komplementbildung und Schnitt). Für diese gelten dann bestimmte Axiome. Die Sigma-Algebren spielen eine große Rolle in der Maßtheorie und der Stochastik.
Wenn man das anordnen will: Algebren im weiteren Sinne sind der Überbegriff für alle möglichen mathematischen Strukturen - das ist eine sehr schwache Definition, weil sie alles mögliche umfasst. Algebren im engeren Sinne und Sigma-algebren sind "Spezialfälle" für solche allgemeinen Strukturen, die bestimmte, klar definierte Axiome erfüllen müssen.
Er meint den Unterschied zwischen einer Algebra (Mengensystem) und einer Sigma-Algebra, nicht zwischen einer Algebra über einem Ring/Körper (Algebraischen Struktur) und einer Sigma-Algebra. Eine Algebra (Mengensystem) hat Ähnlichkeiten zu einer Algebra über einem Ring/Körper, ist jedoch was anderes.
Der Unterschied zwischen einer Sigma-Algebra und einer Algebra liegt darin, dass jede Sigma-Algebra auch eine Algebra ist und eine Sigma-Algebra gegenüber abzählbar unendlicher Vereinigungen abgeschlossen ist, wobei es bei einer Algebra nur abgeschlossen bezüglich endlich vieler Vereinigungen sein muss.
Aus wikipedia Eine σ-Algebra (auch σ-Mengenalgebra, Sigmakörper oder Borelscher Mengenkörper) ist ein Grundbegriff der Maßtheorie. Als solcher wird sie auch in der Stochastik häufig verwendet. Eine σ-Algebra ist eine mengentheoretische Struktur, sie bezeichnet ein Mengensystem auf einer festen Grundmenge, das die Grundmenge enthält und abgeschlossen ist bezüglich der Komplementbildung und abzählbaren Vereinigungen.
@JotEs was erwartest du bei so einer schlecht gestellten Frage für eine Antwort?
Der Unterschied besteht darin, dass eine Algebra abgeschlossen gegenüber endlich vielen Vereinigungen , eine sigma-Algebra aber gegenüber abzählbar undendlich vielen Vereinigungen ist.