Äquivalenzrelation von Komplexen Zahlen (z1,z2) e R, |z1|=|z2|?

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2 Antworten

Du willst zeigen, dass eine bestimmte Relation über den komplexen Zahlen eine Äquivalenzrelation bildet. Wie ist diese Relation in deinem Fall definiert?
Normalerweise ist das bei den komplexen Zahlen (mit z=(a, b), z e C, a, b e R): z1=z2<=>a1=a2 und b1=b2
Dabei folgen die Eigenschaften Reflexivität, Symmetrie und Transitivität direkt aus denen der reellen Zahlen.

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Hallo!

Sei (ℂ², ~) eine binäre Relation. Um zu zeigen, dass ~ eine Äquivalenzrelation ist, hast du richtig erkannt, dass ~

  • (i) reflexiv (d. h. ∀x ∈ ℂ: x ~ x)
  • (ii) transitiv (d. h. x ~ y ∧ y ~ z ⇒  x ~ z) und
  • (iii) symmetrisch (d. h.  x ~ y  ⇒  y ~ x)

sein muss.

Im Grunde hast du für die Relation x ~ y :⇔ |x| = |y| schon einen Beweis angegeben, allerdings sollte er etwas formaler sein. So würde ich es schreiben:

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Sei (ℂ², ~) die binäre Relation, die für x, y ∈ ℂ durch x ~ y :⇔ |x| = |y| definiert ist. Es gilt: ~ ist eine Äquivalenzrelation.

Beweis: Es genügt zu zeigen, dass (i), (ii) und (iii) erfüllt sind.

  • ad (i): Sei x ∈ ℂ beliebig, dann gilt  trivialerweise |x| = |x| ⇔ x ~ x.
  • ad (ii): Seien x, y, z ∈ ℂ mit x ~ y und y ~ z. Dann gilt: x ~ y ⇔ |x| = |y| und
    y ~ z ⇔ |y| = |z|. Wegen der Transitivität von "=" gilt nun auch |x| = |z|.
  • ad (iii): Seien x, y ∈ ℂ mit x ~ y. Das heißt  x ~ y ⇔ |x| = |y| ⇔ |y| = |x| ⇔ y ~ x.

q. e. d.


LG girlyglitzer

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