Abstand Punkt von der Ebene?
Hallo, ich übe gerade fleißig für meine mündliche Abiprüfung, jedoch stehe ich gerade auf dem Schlauch und komme nicht mehr vorwärts.
Und zwar:
Bestimmen sie die Koordinaten eines Punktes, der von E den Abstand 3✓21 hat
E: x1+2x2-4x3=1
Wie gehe ich vor?
2 Antworten
Hallo,
Du nimmst irgendeinen Punkt auf der Ebene, zum Beispiel (1|0|0) und gehst von da aus in Richtung des Normalenvektors 3*Wurzel (21) Einheiten weit.
Dazu brauchst Du den Normalenvektor und dessen Betrag (Länge).
Der Normalenvektor lautet (1/2/-4), das sind sie Koeffizienten der Ebenengleichung.
Sein Betrag ist die Wurzel aus der Summe der Quadrate seiner Komponenten, also
Wurzel (1²+2²+(-4)²)=Wurzel (21).
Wenn der Normalenvektor Wurzel (21) Einheiten lang ist und der Punkt soll dreimal so weit von der Ebene entfernt sein, rechnest Du (1/0/0)+3*(1/2/-4)=(4/6/-12).
Der gesuchte Punkt hat demnach die Koordinaten (4|6|-12).
Du kannst das gleiche Spiel natürlich auch in der Gegenrichtung des Normalenvektors machen, indem Du (1/0/0)-3*(1/2/-4) rechnest.
Statt (1|0|0) kannst Du natürlich auch jeden anderen Punkt der Ebene als Ausgangspunkt nehmen, also jeden, dessen Koordinaten die Ebenengleichung erfüllen.
Herzliche Grüße,
Willy
Super. Vielen Dank. Das war sehr ausführlich. So wie man's will👍
Du mußt doch wissen, wie lang der Normalenvektor ist, damit Du weißt, wievielmal Du die Länge dieses Vektors abschreiten mußt, um zum gewünschten Abstand zu kommen. Der Normalenvektor ist in diesem Fall Deine Einheit, während die Einheit des gegebenen Abstands einfach 1 ist.
Wenn Du mit einem 20 cm langen Lineal eine Strecke von 1,20 m abmessen mußt, mußt Du doch auch wissen, daß das Lineal 20 cm lang ist, so daß Du ausrechnen kannst, daß Du sechs Lineallängen abtragen mußt, um auf 1,20 m zu kommen.
1. Bestimme den Normalenvektor der Ebene, Normiere den und bringe ihn dann auf die gegebene Länge.
2. Bestimme einen beliebigen Punkt der Ebene
3. Addiere den Vektor den du gerade bestimmt hast auf den Punkt.
Da der Normalenvektor hier den Betrag Wurzel (21) hat, brauchst Du ihn nicht einmal zu normieren, sondern einfach nur mit 3 zu multiplizieren, um auf den gewünschten Abstand zu kommen.
Aber weswegen rechne ich überhaupt noch den Normalenvektor unter der Wurzel im Quadrat? Da kommt dann Wurzel 21 raus, aber wofür wird diese benötigt?