Gegeben: endliche Gruppe G
Ich möchte zeigen, dass folgende Aussagen äquivalent sind:
(i) die Untergruppen von G sind bezüglich der Inklusion vollständig geordnet
(i i) G ist zyklisch erzeugt mit |G| = p^n für eine Primzahl p und eine Zahl n in NN
Mein Ansatz: Betrachtet man als Beispiel G = [3, 9, 27, 17, 19, 25, 11, 1] so fällt auf, dass G zyklisch erzeugt wurde, nämlich G = {3^n mod 32 , n in N}. Die Ordnung von G ist 2^3
Die Gruppe erfüllt also scheinbar (i i). Die Untergruppen von G sind
[3, 9, 27, 17, 19, 25, 11, 1]
[9, 17, 25, 1]
[27, 25, 3, 17, 11, 9, 19, 1]
[17, 1]
[19, 9, 11, 17, 3, 25, 27, 1]
[25, 17, 9, 1]
[11, 25, 19, 17, 27, 9, 3, 1]
[1]
Wie zu erwarten teilen die Ordnungen der Untregruppen die Ordnung von G. Nun versuche ich den Punkt ( i) in den Untergruppen wiederzuerkennen. Dazu muss ich erstmal wissen, was "bezüglich der Inklusion vollständig geordnet" überhaupt heißt (?). Wenn ich das richtig verstehe bedeutet das so viel wie: "In den Untergruppen sind maximal viele Elemente aus G enthalten". Aber das muss ich wohl falsch verstanden haben, denn die Untergruppen haben ja auch Ordnungen wie 1,2,4, sind also kleiner als |G | . Weis jemand wie das zu verstehen ist?