Zeigen Sie, dass für die absolute Kondition der Auswerting der Funktion?

Seien g,f : R → R gegebene Funktionen und sei h := g + f . Zeigen Sie, dass für die absolute Kondition der Auswerting der Funktion h in einem Punkt x ∈ R die Abschätzung κ abs ( h,x ) ≤ κ abs ( f,x ) + κ abs ( g,x) gilt

Answer 1

[poseidon42]

Die Absolute Kondition bei x mittels:

|f(x + h) - f(x)| = |f´(x)*h + O(h²)|

Approximation erster Ordnung:

= |f´(x)|*|h|

Und damit folgt diese zu:

k(f,x) = |f´(x)|  gültig nur für  |h| hinreichend klein

Sei nun h(x) = g(x) + f(x) gegeben, es folgt:

k(h,x) = |h´(x)| = |f´(x) + g´(x)| <= |f´(x)| + |g´(x)| = k(f,x) + k(g,x)

Somit folgt dann also die gesuchte Relation:

k( f + g , x ) <= k( g , x ) + k( f , x )

Comments

[poseidon42]

Btw:

Das gilt:   | x + y | <= |x| + |y|   

folgt aus der sogennanten Dreiecksungleichung des Betrages.

[Ellon]

sorry wenn ich nerve aber habe noch eine Frage damit ich verstehe, gibt es noch ein x für das die Abschätzung aus (Aufgabe) nicht scharf ist.?