Woher kommt 1/2 bei der Formel E=1/2*m*v²?

Hallo ich wollte wissen woher 1/2 her kommt wenn man das integral berücksichtigt um die kinetische energie herzuleiten.

Answer 1

[iSolveProblems]

Dafür nutzt du die Gleichung für die Arbeit (bei konstanter Kraft):

$W=Fs$

Was ist Kraft F?

Die Bewegungsgleichungen in der newtonschen Mechanik werden über den Ansatz:

$F=ma$

formuliert

Bei einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung gilt*:

$s=\frac{1}{2}at^2$

wobei für die Zeit gilt:

$t=\frac{v}{a}$

dann wird aus der Gleichung für s:

$s=\frac{1}{2}a\left(\frac{v}{a}\right)^2=\frac{1}{2}a\cdot\frac{v^2}{a^2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{v^2}{a}$

nutzen wir die Gleichung für die Kraft und stellen sie nach Beschleunigung a um (a=F/m):

$s=\frac{1}{2}\cdot\frac{v^2}{\frac{F}{m}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{mv^2}{F}$

Dabei ergibt sich eine Rechtecksfläche:

$W=F\cdot s=F\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{mv^2}{F}=\frac{1}{2}mv^2$

Für die Schule sollte dies als Erklärung reichen.

Alternativ benutzt man (wenn man es allgemeiner und somit "sauberer" machen will) die Definitionsgleichung der Arbeit:

$W:=\int d\vec{r}\cdot\vec{F}\left(\vec{r}\right)$

(*) Die Gleichung s=1/2at² für eine gleichmäßige Beschleunigung gilt natürlich nur dann, wenn ohne eine Anfangsstrecke bei t=0 starten, dann fallen die anderen Terme weg.

Woher ich das weiß: Berufserfahrung – Theoretischer Physiker (Vielteilchensysteme, Quantenoptik)

Comments

[Berkay741594]

Dankeschön :)

Answer 2

[Gehilfling]

Impuls = m x v

... über die Geschwindigkeit integriert:

Energie = 1/2 x m x v²

Allerdings ist das nur eine mathematische Mutmaßung. Ob es eine physikalischen Umweg gibt, bin ich mir nicht sicher.

EDIT:

Scheinbar lässt sich das auch über die folgende Beziehung herleiten:

• Arbeit W = Kraft F x Strecke s
• Einsetzen s = 1/2 x a x t² und F = m x a
• W = m x a x 1/2 x a x t² = 1/2 x m x v²

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Masterstudium Elektrotechnik, Schwerpunkt Embedded Systems

Comments

[DerRoll]

Allerdings ist das nur eine mathematische Mutmaßung.

Äh nein. Das ist genau die newtonsche Theorie der Mechanik. Newton beschreibt in seiner

https://de.wikipedia.org/wiki/Philosophiae_Naturalis_Principia_Mathematica

sehr genau wie er die Infinitesimalrechnung auf physikalische Probleme anwendet. Und zusätzlich ist sie wie jede gute Theorie durch Messungen bestens belegt.

Das sie nur im Kleinräumigen Maßstab und grober Messung tatsächlich richtige Ergebnisse liefert und man ansonsten zu den Relativitätsgleichungen greifen muß ändert daran nichts.

[Gehilfling]

@DerRoll

Gut zu wissen, danke.

[PeterKremsner]

Ist im Wikiartikel zum Thema Impuls auch so beschrieben.

Es handelt sich um die Definition der Energie als das Wegintegral über die Kraft wobei man die Kraft durch dp/dt ausdrücken kann.

[iSolveProblems]

Also ich sehe es, denn dann kannst du dr/dt zu v umschreiben und hast m*int dv v stehen was zur 1/2mv^2 führt, aber Operatoren wirken nach rechts und F = d/dt mv du kannst also nicht so einfach differentiale nach links/rechts umpositionieren oder sehe ich das jetzt falsch?

[Berkay741594]

Danke gut zu wissen :)

Answer 3

[PeterKremsner]

https://de.universaldenker.org/argumentationen/294

Hier ist eine mögliche Herleitung.