Wie leitet sich die Proportionalitätskonstante 1/2 in der Formel der kinetischen Energie her?
Eine Einheit der Energie ist J= kg* m^2/s^2. Daraus sollte man schlussfolgern können, dass E=m*v^2 ist.
(m^2/s^2 = (m/s)^2, die quadrierte Einheit der Geschwindigkeit)
Doch die korrekte Formel ist: E=1/2*m*v^2
2 Antworten
Die meisten Energieformeln enthalten diesen Faktor 0,5.
Dies kann am besten grafisch mit einem Integral erklärt werden:
Die in einem Objekt vorhandene, "gespeicherte" Energie (egal ob bewegender Körper oder geladener Kondensator oder magnetisierte Spule usw.) muss ja irgendwann mal von null weg in dieses Objekt "eingefüllt" werden.
Bei Bewegung ist die Energie E, die aus der aufgewendeten Arbeit W im System steckt, Kraft mal Strecke, W=F*s.
Wenn ein Körper aus der Ruhelage mit einer resultierenden Kraft beschleunigt wird (z.B. beim freien Fall), steigt seine Geschwindigkeit linear mit der Zeit an.
Weil s=v*t ist und v von 0 an zunimmt, wird die zurückgelegte Strecke dann die Fläche unter der "Kurve". Und diese Fläche ist ein Dreieck, also die Hälfte des Rechtecks aus Zeit t mal Geschwindigkeit v, bei der die Energie bestimmt wird:
Das Dreieck unter der Diagonalen ist logischerweise die Hälfte des Rechtecks.
(Die Dreiecksformel ist bekanntlich auch Grundlinie mal Höhe mal 0,5.)
Und dann eben die Energie: E=F*s , wobei der Faktor 1/2 eben in s versteckt ist.
Zugegeben, ist verwirrlich.
Nein, ich meine mit dem Text, dass bei konstanter Geschwindigkeit die Strecke s=v*t ist, also ein Rechteck. Aber die Grafik zeigt (bei konstanter Beschleunigung, ja) die linear von 0 weg zunehmende Geschwindigkeit (also nicht eine konstante Geschwindigkeit).
Die Strecke selbst nimmt quadratisch (mit der Zeit) zu. Also nach der doppelten Zeit wäre die Strecke (pinke Fläche) viermal so gross (aus 4 solchen Dreiecken bestehend)
Der freie Fall ist eine gleichmässig beschleunigte Bewegung. Für die Höhe h gilt
h = v^2/(2*g) mit g = 9,81 m/s^2
also gilt
g*h = v^2/2
Beim Fallen wird die Lageenergie Epot = m*g*h in kinetische Energie umgewandelt
Ekin (v) = Epot = m * g*h = m * v^2/2
Du meinst in der Abbildung wohl, dass die Beschleunigung konstant ist.