Wieviele Diagonalen hat ein n-Eck?
4 Antworten
Nimm einen Eckpunkt. Von dort gehen zu den beiden Nachbarpunkten die "normalen" Verbindungslinien, und zu allen anderen Punkten (außer diesen 3en (die 2 Nachbarn und sich selbst)) können Diagonale gezeichnet werden. Das gilt für alle n-Ecken, macht also n * (n-3) Diagonale. Da bei dieser Überlegung aber alle Diagonalen doppelt gezählt werden, also z. B. Diagonale AE und EA, muss noch durch 2 geteilt werden, also: n * (n-3)/2 ist die Anzahl aller Diagonalen im n-Eck.
Das kann man sich ja sehr einfach überlegen.
Wenn Du die Diagonalen nicht doppelt zählst (also P1 -> P2 = P2 -> P1), dann kannst Du:
- Den ersten Punkt mit n-1 weiteren Punkten verbinden
- Den zweiten Punkt mit n-2 weiteren Punkten verbinden
- usw.
Bedeutet, die Anzahl der Diagonalen ist (n-1) + (n-2) + (n-3) + ... + 1 Diagonalen. Wir wissen, dass diese Summe zusammengefasst n(n-1) : 2 ergibt (Gaußsche Summenformel oder auch Kleiner Gauß genannt).
Da sind aber die Verbindungen der direkten Nachbarn noch eingerechet. Diese sind keine Diagonalen und daher muss man diese abziehen. Das sind n Stück, somit ist die Anzahl der Diagonalen:
D = n * (n - 1) : 2 - n = n * (n - 3) : 2
Kommt das nicht auf die N (Eckpunkte) an?
Oder willst du die Formel dazu wissen?
Hier sind einige Formeln dazu: http://www.mathematische-basteleien.de/vieleck.htm
Richtig. Deswegen kann man das ja auch in Abhängigkeit von N formulieren.