Wie würdet ihr den Graphen beschreiben?
Hallo,
Wie viele Wendepunkt hat der Graph z.b? Und wie kriege ich seine Funktion heraus
Das Bild
Man sieht kein Bild.
Habs ergänzt, tut mir leid
5 Antworten
aus der Zeichnung → f(0)=2 → ao=2 Nullstelle Nst=-2,5
Tiefpunkt T1(1/1,5) Hochpunkt H(0/2)
Tiefpunkt T2(-2/f(-2)
f(x)=a4*x⁴+a3*x³+a2*x²+a1*x+ao
f´(x)=0=4*a4*x³+3*a3*x²+2*a2*x+1*a1
1) f(1)=1,5=a4*1⁴+a3*1³+a2*1²+a1*1+2 aus T1(1/1,5)
2) f´(0)=0=4*a4*0³+3*a3*0²+2*a2*0+1*a1 → a1=0
3) f(-2,5)=0=a4*(-2,5)⁴+a3*(-2,5)³+a2*(-2,5)+0*a1+2 aus Nst=-2,5
bleibt
1) f(1)=1,5=a4*1⁴+a3*1³+a2*1²+2 aus T(1/1,5)
2) f(-2,5)=0=a4*(-2,5)⁴+a3*(-2,5)³+a2*(-2,5)+2 aus Nst=-2
3) f´(1)=0=4*a4*1³+3*a3*1²+2*a2*1
diese LGS schreiben wir nun um,wie es im Mathe-Formelbuch steht,wegen der Übersichtlichkeit
1) 1*a4+1*a3+1*a2=1,5-2=-0,5
2) (-2,5)⁴*a4+(-2,5)³*a3+(-2,5)²*a2=-2
3) 4*a4+3*a3+2*a2=0
Lösung mit meinem Graphikrechner (GTR,Casio),a4=0,3 und a3=0,3992 und a2=-1,1996 und ao=2
y=f(x)=0,3*x⁴+0,3992*x³-1,1996*x²+2
Was man direkt ablesen kann:
- f(x) ist gerade und hat mindestens zwei reellwertige Nullstellen. Eine davon ist direkt ablesbar.
- Eine Nullstelle von f(x) liegt bei x=-2.5
- f(0)=2
- f(x) hat drei lokale Extremwertstellen (1 Maximum und zwei Minima), daraus folgt:
- f'(x) hat drei Nullstellen.
Damit hast du 5 Wertepaare, mit denen du ein lineares GLS mit 5 Unbekannten füttern kannst.
Damit ist eine Funktion 4ten Grades eindeutig bestimmbar.
Einen Teil mache ich bei dir:
Du hast offenbar eine kubische Funktion, die hat im Allg. die Form:
f(x) = ax^3 + bx^2 +c x +d, x aus den reellen Zahlen, sowie a,b,c,d aus den reellen Zahlen, nicht notwendig 0.
So.
Du musst die Koeffizienten a,b,c,d bestimmen, das sind vier. Das heißt du brauchst vier Gleichungen aus deinem Funktionsgraph, mit denen du nacheinander die Koeffizienten bestimmen kannst.
Du brauchst auch Ableitungen, f'(x) und f''(x), die zweite Ableitung brauchst du für die Wendepunkte, da, wo sich das Krümmungsverhalten ändert.
...
https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm
f(0) = 2
f(-5/2) = 0
f(1) = 3/2
f'(0) = 0
f'(1) = 0
f(x) = (368 / 1225) · x ^ 4 + (489 / 1225) · x ^ 3 - (2939 / 2450) · x ^ 2 + 2
Das globale Minimum liegt bei
(- 1.99660326086957 | - 1.18534767594201)
Wendepunkte :
W_1 (- 1.2130483963496 | 0.17274581225102)
W_2 (0.5486462224365135 | 1.732052193595823)
Und das macht auch Sinn, weil Wendepunkte immer irgendwo zwischen zwei verschiedenartigen Extremwertpunkten liegen.
Wendepunkte ergibt die Ableitung f´´(x)=0=...
f´´(x)=0=12*a4*x²+6*a3*x+2*a2 ist eine Parabel der Form 0=a2*x²+a1*x+ao hat maximal 2 reelle Nullstellen (Schnittstellen mit der x-Achse)
also 2 Wendepunkte xw1=.. und xw2=...
Kann es sein, dass hier zwei Wendepunkte vorhanden sind und das eine Gleichung 5 Grades ist?