Wie viel Liter passt in eine Vase (Rauminhalte von Rotationskörpern)?
Hallo zusammen :)
wir haben vor den Ferien ein neues Thema begonnen. Leider hat die Zeit nicht mehr ausgereicht um über das neue Thema zu sprechen, daher haben wir ein Arbeitsblatt bekommen, welches wir über die Ferien bearbeiten sollen.
Leider kann ich mit den Textaufgaben sowas von 0 Anfangen. Wir hatten davor die ganze Zeit Integralrechnung gehabt mit zw. zwei Funktionen, zwischen x-Achse und Graph... halt allg. Integralrechnung und jetzt Rauminhalte von Rotationskörpern.
Wenn jemand Zeit und Lust hat, kann mir jemand erklären wie ich bei den einzelnen Teilaufgaben vorzugehen habe und wie ich das ausrechne? Weil ich hab leider kein Plan wie ich da jetzt am besten Anfange... Das wäre eine sehr große Hilfe, da wir auch bald die Prüfung schreiben und ich so schnell wie Möglich die Themen lernen möchte.
4 Antworten
a) Die Vase kann man angenähert durch einen Kegel ersetzen.Mantellinie ist dann eine Gerade der Form y=f(x)=m*x+b
Volumen vom Kegel V=1/3*Ag*h hier ein gerader Kreiskegelstumpf
siehe Mathe-Formelbuch,was man privat in jedem Buchladen bekommt.
Kapitel,Geometrie,Geometrische Körper (Stereometrie),Anwendung Integralrechnung
Volumen von Rotationskörpern (Kubatur)
Rotation um die x-Achse Vx=pi*∫y²*dx mit y=f(x)=...
Rotation um die y-Achse Vy=pi*∫[g(y)]²*dy
b) Rotation um die x-Achse,weil die Funktion der Mantellinie schon gegeben ist
y=f(x)=a*x²+c
Kleine Kreisfläche liegt bei x=0 und große Kreisfläche bei x=20 cm
Mittellinie ist die x-Achse
c) bei x=0 → f(0)=a*0²+c → c=6 cm/2=3 cm → Abstand von der x-Achse zur Mantellinie
x=20 cm f(20)=10 cm/2=5=a*20²+3
a=(5-3)/400=0,005
Mantelfunktion y=f(x)=0,005*x²+3
d) Vn=An*∆x=r²*pi*∆x
angenähertes Volumen V=Summe Vn
1) eine Zeichnung machen mit der Funktion y=f(x)=0,005*x²+3
2) fünf Rechtecke einzeichnen → Volumen eines Rechtecks Vn=An*∆x
eine Zeichnung für die Obersumme Vo und eine für die Untersumme Vu
angenähertes Volumen mittleres Volumen Vm=(Vo-Vu)/2
entstandener Körper nennt sich -glaub ich-Rotationsparaboloid → Parabel
e) eine Zeichnung machen,x-y-Koordinatensystem und der Funktion
y=f(x)=0,005*x²+3
ein Teilvolumen einzeichnen → dV=A*dx=r²*pi*dx mit r=y=f(x)
Kreisfläche A=r²*pi
nun integrieren
∫dV=∫r²*pi*dx → r=y → r²=y²=(0,005*x²+3)²
Vx=pi*∫y²*dx
binomische Formel (x+b)²=x²+2*b*x+b²
(0,005*x²+3)²=(0,005*x²)²+2*3*0,005*x²+3²=2,5*10^(-5)*x⁴+0,03*x²+9
Den Rest schaffst du selber.
Du brauchst den Abstand der Funktion f(x)=.. zu der x-Achse und dann läßt du die Funktion um die x-Achse sich drehen
Kreisfläche um die x-Achse ist ja A=r²*pi und ein Teilvolumen ist dV=A*dx=r²*pi*dx
also bei x=0 ist f(0)=6 cm/2=3 cm und bei x=20 ist f(20)=10 cm/2=5 cm
Hmm ich hab das jetzt etwas anders gerechnet mit dem Gleichungssystem. Also erst die SP 0/3 und SP 20/5 rausgesucht und dann in die allg. Formel von f(x) = ax²+c eingesetzt. gelöst und kam auf
f(x) = 1/200x²+3
Das dann in diese Integralformel mit dem Pi und dem ² am Ende und kamm auf 150078,38 VE.... was dann 150 Liter wären, lol irgendwas stimmt da nicht
Hey fjf100, danke für die ausführliche Antwort :)
Bei der a) habe ich jetzt mal ein Kegel genommen, da wir ja nur Schätzen sollten. Da bin ich jetzt auf 0.565 Liter gekommen. D.h. zuerest die Grundseite mit der Formel A = pi•r² = pi•3cm² = ca. 28cm²
Danach Vkegel = G • h = 28•20cm = 565cm³ = 0,565 Liter.
Wäre ich damit anseitsweise richtig?
Is mir zu viel Arbeit,die mir die Eltern nich bezahlen.
Frag mal deine Eltern,ob die mich für meine Nachhilfe bezahlen.
Nehme 1 € für leichte Aufgaben -Rechenzeit 5 Minuten.
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Kontakt:E-Mail:fjf60@t-online.de
Kannst bei mir abschreiben und dann an deiner Schuler verkaufen.
Das nenn ich mal ein Deal haha :D nein Spaß, ich will das ja verstehen, aber ich denke ich warte einfach auf nach den Ferien, denn ich komm da ständig auf andere Ergebnisse oder ich check die Zusammenhänge nicht wirklich, da jeder irgendwie anders Rechnet. Ich danke dir aber trotzdem für deine Hilfe :)
Eltern kassieren pro Kind 230 € im Monat und der Sozialhilfesatz liegt bei einem Alleinstehenden,wie mich bei 446 €/Mon (Regelsatz)
Davon muß man Essen,Kleidung,Strom,usw bezahlen
Sozialfälle-Eltern mir einen Kind-kassieren so 1000 € im Monat und die Miete und Mietnebenkosten werden vom Sozialamt extra bezahlt.
10 bis 20 € im Monat sind dann für die noch zu teuer,aber qualmen und trinken.
1 Schachtel Zigaretten 6 € plus X
Berechne einfach das Volumen eines Zylunders.Da ist dann y=f(x)=r=konstant
y=r=5 cm und die Höhe h=10 cm
V=pi* ∫(5 cm)²*dx
V=pi*25 cm²*x+C xu=0 und xo=10 cm
V=obere Grenze minus untere Grenze=V(xo)-V(xu)
Hinweis:Für 10 Euro rechne ich dir die Aufgabe komplett vor und die kannst du dann so oft kopieren,wie du willst und dann in deiner Klasse verkaufen.
1 kleiner Kaffee kostet hier 1,75 € und ein Stück Bienenstich 1,55 €
macht 1,75+1,55=3,30 €
Bekomme also für 10 € nur 3 Kaffee und 3 Bienenstich.
Und was kostet eine Eigentumswohnung ? Ab 4000 €/m² aufwärtrs
50 m² Eigentumswohnung dann ja nur 4000 €/m²*50 m²=200.000 € oder noch mehr.
In den Städten gibt es auch Wohnungen,die dann bis 7000 €/m² kosten können.
Mein Lohn für meine Arbeit is da ja lächerlich.
Volumen eines Zylinders V=Ag*h=r²*pi*h
hier wäre r=konstant → y=f(x)=r
Beispiel: r=5 cm und h=10 cm → V=(5 cm)²*pi*10 cm=785,398 cm³
y=f(x)=r=5 cm
V=pi*∫(5 cm)²*dx=pi*(5 cm)²*∫dx=pi*25 cm²*x+C
V(x)=pi*25 cm²*x+C untere Grenze xu=0 cm obere Grenze xo=10 cm
V=obere Grenze minus untere Grenze=V(xo)-Vxu)
die Integrationskonstante C hebt sich hierbei auf
V=(pi*25 cm²*10 cm) - (pi*25 cm²*0 cm)=pi*25 cm²*10 cm
V=785,398 cm³ stimmt
Hier ein Beispiel zur Flächenberechnung mit der Obersumme/Untersumme
Bei Rotation um die x-Achse gilt:
Bevor du also die Stammfunktion bildest und die Grenzen einsetzt musst du noch die gegebene Funktion quadrieren. Das ist alles.
zu b) ist die untere Kreisfläche nicht d=6cm und die obere Kreisfläche d=10cm und die höhe h=20cm?