Wie muss die reelle Zahl a gewählt werden, damit die Vektoren linear abhängig sind?
In Vorbereitung auf meine Matheklausur habe ich einige Übungsaufgaben aus meinem Buch gemacht. Die Übungsaufgaben besitzen zwar Lösungen jedoch weiß ich nicht wie man auf das Ergebnis kommt:
A(4|4|8), B(-3|-3|a), C(a|a|-12)
Lösung soll a=-6 sein.
Habe auch bereits eine Matrix mit Nullvektor usw. aufgestellt, jedoch komme ich nur auf eine Nullzeile und das wars.
Danke für alle Antworten
3 Antworten
Ganz einfach:
Linear abhängig heißt ja erst mal nichts anderes, als das die Vektoren vielfache voneinander sind, also dass es ein Wert gibt, der mit dem ersten Vektor multipliziert den zweiten Vektor ergibt.
Beispiel:
(1 2 3) * 2 = (2 4 6)
Jede einzelne Koordinate des linken Vektors mal zwei, und du erhälst den rechten Vektor. (2 * 1 = 2 = x-Koordinate vom rechten Vektor, usw...)
Du musst einfach die x-Koordinate vom ersten Vektor nehmen und diese durch die x-Koordinate vom zweiten Vektor.
Dann kommt da -(4/3) heraus.
Dann nimmst du die y-Koordinate vom ersten und zweiten Vektor, und schaust was da herauskommt.
Wieder -(4/3), wunderbar.
Wenn der erste und zweite Vektor linear abhängig sind, dann müsste ja auch die z-Koordinate vom ersten Vektor durch die z-Koordinate vom zweiten Vektor (-4/3) ergeben.
Also 8/a = (-4/3) => a = -6
Jetzt haben wir aber noch nicht den dritten Vektor mit ins Spiel gebracht.
Wir wissen ja jetzt, dass bei a = -6 der erste und der zweite Vektor linear abhängig sind.
Setzen wir jetzt mal -6 in den dritten Vektor ein:
Der dritte Vektor ist demnach (-6 -6 -12)
Jetzt nehmen wir uns unseren zweiten Vektor nochmal zur Brust, und schauen, ob man bei der Division der beiden x- und danach der beiden y- und zum Schluss der beiden z-Achsen immer den gleichen Wert erhält:
(-3) / (-6) = 0.5 Division der x-Koordinaten
(-3) / (-6) = 0.5 Division der y-Koordinaten
(-6) / (-12)=0.5 Division der z-Koordinaten
Vektor 1 und Vektor 2 sind linear abhängig, und Vektor 2 und Vektor 3 ebenfalls.
Das heißt, dass Vektor 1 und Vektor 3 linear abhängig sein MÜSSEN!
Denn Vektor 1 ist ein vielfaches von Vektor 2. Somit steckt ja Vektor 1 quasi in Vektor 2 drin. (Nur dass Vektor 2 eine andere Länge hat, aber die in die selbe Richtung zeigt.) Vektor 3 ist ein vielfaches von Vektor 2, somit steckt Vektor 2 in Vektor 3. Aber da in Vektor 2 ja Vektor 1 steckt, steckt Vektor 1 somit auch in Vektor 3.
Deswegen kannst du dir die Probe für Vektor 1 und Vektor 3 sparen.
Ich hoffe ich konnte dir helfen! :)
dann nimmst du eine mal (-2) und addierst zur 3. Zeile;
dann hast du 6+a-2a-12=0 also -a=6 und a=-6
Wenn du auf eine Nullzeile kommst sind die Vektoren doch linear abhängig.
Du musst die Vektoren auch nebeneinander und nicht untereinander schreiben.
Aber das ohne a zu definieren. Bei der Matrix würde ich einfach
4 -3 a mit 4 -3 a subtrahieren ( die ersten beiden Zeilen) und käme auf eine Nullzeile....