Wie löst man es?

Verlängert man alle Kanten eines Würfels um 2 cm, so nimmt das Volumen um 98 cm³ zu. Berechne die Oberfläche des neuen Würfels.

Wie berechnet man sowas?

Answer 1

[verreisterNutzer]

Benötigt wird im Folgenden: $\left(x+y\right)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3$

Die Differenz der Volumina ist (der Term a³ fällt durch die Differenzbildung heraus) $V_2\ -V_1=\left(a+2\right)^3-a^3=6a^2+12a+8\ =98$

Also ist zu lösen (mit pq-Formel und nachdem man die 98 auf die andere Seite gebracht hat):

$6a^2+12a-90\ \ =\ 0\ \ \ \ \ |\ :6$ $a^2+2a\ -15\ =\ 0;\ \ p=2;\ -\frac{p}{2}=-1;\ q\ =-15$ $a_{1/2}=-1\pm\sqrt{1^2-\left(-15\right)}=-1\ \pm\sqrt{16}=-1\ \pm4$

Da eine Seitenlänge positiv sein muss, wähle die Lösung a = -1 + 4 = 3. Die Seitenlänge des ursprünglichen Würfels war also 3 cm und die des Würfels mit einer um 2 cm vergrößerten Seitenlänge beträgt 5 cm.

Probe:

$5^3-3^3=125-27\ =\ 98$

Die Oberfläche des neuen Würfels ist dann:

$O_2=6\cdot\left(5\ cm\right)^2=6\cdot25\ cm^2\ =150\ cm^2$