Wie löst man diese Aufgabe?
Hallo, ich lerne gerade für eine Mathe KA und versteh nicht wie man die Aufgabe lösen soll. Die Grundform ist ja L={x=x1+k•p; k ist Element aller reellen Zahlen}.
Jetzt hätte ich gedacht, dass man, da man p gegeben hat mit der Formel b=2pi/p b ausrechnet und dann die Zahl vor dem x hat. Und dann mit der gegebenen Nullstelle irgendwie auf die Gleichung kommt… Aber hier macht das irgendwie keinen Sinn (zb. bei b) weil die Periode 6pi ist und die NS ist ja dann nicht 1/6.? Also bei Sinus und Cosinus nicht..
Ich glaube ich hab einen ganz falschen Ansatz.
Wie man vielleicht sieht bin ich sehr verwirrt, ich würde mich über Hilfe freuen. :)
1 Antwort
Wir können einfach sagen, dass x unsere Nullstellen einer trigonometrischen Funktion sein sollen und müssen diese Funktion nur passend zur Lösungsmnege transformieren.
a) L = {x | x = 4kπ, k∈ℤ}
Für sin(x) = 0 wäre L = {x | x = 2kπ, k∈ℤ}, also müssen wir die Sinusfunktion von einer 2π-Periode auf eine 4π-Periode bekommen. Horizontal (also parallel zur x-Achse) muss der Graph also um den Faktor Zwei gestreckt werden.
Allgemein gilt, dass eine Funktion f um den Faktor |1/p| gestreckt wird, wenn |p|<1 ist, und gestaucht wird, wenn |p|>1 ist. (Wenn p<0, wird der Graph von f vertikal gespiegelt.)
Für unsere Sinusfunkion bedeutet es, dann wir ein p suchen, sodass aus sin(x), ihr Graph 2π-periodisch, die Funktion sin(px) wird, sodass ihr Graph 4π-periodisch wrird.
Ausrechnen können wir das wie folgt:
2π / p = 4π <=> p = 1/2
Unsere transformierte Sinusfunktion ist dann sin(x/2) = 0, diese passt zu L.
b) L = {x | x = 1/6 + k/3, k∈ℤ}
Jetzt gehen wir mal anders vor. Wir gehen rückwärts...
x = 1/6 + k/3
Wir multiplizieren auf beiden Seiten mit 6π.
6πx = π + 2πk
Nun wenden wir auf beiden Seiten die Sinusfunktion an. Beachte, dass sin(z + 2πk) = sin(z) für alle k∈ℤ gilt. Wir erhalten
sin(6πx) = sin(π)
und da sin(π) = 0, kommen wir auf
sin(6πx) = 0.
Und das ist unsere transformierte Gleichung.
Bitteschön :)
Vielen herzlichen Dank für die ausführliche Antwort, jetzt verstehe ich das ganze! :)