Wie lautet das notwendige Kriterium für die Existenz eines hochpunktest?

Die notwendige Bedingung für die Existenz eines Hochpunktes ist folgende: Der Funktionswert der Ableitung ist an der Stelle des Hochpunktes null.

Beispiel

gegeben ist f mit f(x) = -x²

Es sollen alle Hochpunkte bestimmt werden.

1. Ableitung bilden: f'(x) = -2x

2. f'(x) null setzen: 0 = -2x

3. Auflösen: x = 0

4. x in f(x) einsetzen: f(0) = -0² = 0

5. Hochpunkt: HOP(0 | 0)

Damit ein Hoch-/Tiefpunkt existiert ist es erst einmal "notwendig", dass die Steigung Null ist, d. h. f'(x)=0. Ist das nicht erfüllt, gibt es auch keinen Extrempunkt.

Gibt es nun eine Stelle x0 mit f'(x0)=0, dann muß man noch prüfen, ob dort tatsächlich ein Extrempunkt ist oder doch ein Wendepunkt. Damit bei x0 ein Extrempunkt ist, muss die 2. Ableitung ungleich Null sein, dann gibt es bei f''(x0)>0 einen Tiefpunkt und bei f''(x0)<0 einen Hochpunkt. Diese Bedingung (f''(x0)<>0) nennt man "hinreichende Bedingung".

Setze die erste Ableitung gleich 0 und löse nach x auf. Mehr Infos hier: http://www.mathematik-wissen.de/hochpunkte_bzw_tiefpunkte.htm