Wie kann man potenzen mit unterschiedlichen basen und Exponenten multiplizieren?

4 Antworten

Kann man nicht, jedenfalls nicht unmittelbar. Die Potenzgesetze gelten immer nur entweder für gleiche Basen oder für gleiche Exponenten.
Im Gegensatz zu deiner aus der Luft gegriffenen Aufgabe sind die Aufgaben in den Büchern aber meist anders gestrickt, z.B.

2^(3n - 6) * 8^(n + 1)

Wegen des 5. Potenzgesetzes gilt a^(bc) = (a^b)^c

Wenn es passt (und dafür sorgen die Buchautoren schon), kann man die Aufgabe also schreiben:

2^(3n - 6) * 8^(n + 1)  =  2^(3n - 6) * (2³)^(n + 1)
                                =  2^(3n - 6) * 2^(3(n + 1))
                                =  2^(3n - 6 + 3n + 3)
                                =  2^(6n - 3)

Manchmal klappt auch was mit den Binomischen Regeln, da muss man findig sein. Leider ist es nicht mehr so wie in der Anfangsphase: 100 Aufgaben mit immer derselben Rechnerei. Alles, was ihr bislang gemacht habt, ist nur noch das kleine 1x1 dieses Typs von Rechenaufgaben.

Und der Mathelehrer vertritt garantiert die Auffassung, ihr habet alles präsent, was ihr seit der 5. Klasse in Mathe gemacht habt.

Man kann verschiedene Basen ganz leicht ineinander umrechnen.

Es gilt -->

a ^ x = b ^ (x * ln(a) / ln(b))

Nehmen wir mal an, du willst dein Beispiel auf Basis 2 umrechnen -->

3 ^ (-1 / 5) = 2 ^ (- (1 / 5) * ln(3) / ln(2))

Nun erhältst du -->

2 ^ (- (1 / 5) * ln(3) / ln(2)) * 2 ^ (3 / 8) = 2 ^ ((3 / 8) - (1 / 5) * ln(3) / ln(2))

Also -->

3 ^ (- 1 / 5) * 2 ^ (3 / 8) = 2 ^ ((3 / 8) - (1 / 5) * ln(3) / ln(2))

Du hättest zum Beispiel auch beide Basen auf die Basis e umrechnen können -->

3 ^ (-1 / 5) = e ^ (- (1 / 5) * ln(3) / ln(e))

Das vereinfacht sich noch zu -->

3 ^ (-1 / 5) = e ^ (- (1 / 5) * ln(3))

und die andere

2 ^ (3 / 8) = e ^ ((3 / 8) * ln(2) / ln(e))

2 ^ (3 / 8) = e ^ ((3 / 8) * ln(2))

Also -->

3 ^ (- 1 / 5) * 2 ^ (3 / 8) = e ^ (- (1 / 5) * ln(3)) * e ^ ((3 / 8) * ln(2))

3 ^ (- 1 / 5) * 2 ^ (3 / 8) = e ^ ((3 / 8) * ln(2) - (1 / 5) * ln(3))

Besonders hilfreich kann auch die Umrechnung in die Basis 10 sein, weil man dann ganz leicht Mantisse und Exponent von einander trennen kann.

Praktische Anwendung kann außerdem zum Beispiel sein, wenn man Terme dadurch vereinfachen will, indem man wegkürzt.

Gar nicht. In den Taschenrechner eintippen und ausrechnen lassen. 

Weiter vereinfachen kannst du nicht.

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