Wie kann ich diese mathe aufgabe lösen (Funktionen, q1)?
Ich muss gerade lernen und bleibe an hier total hängen:
Nach einer Sprengung entstehen in der näheren Umgebung große Feinstaubkonzentrationen. Aufgrund vorhandener Messwerte lässt sich die funktion: f(t)=0,015t³-2t²+70t modellieren. Dabei gibt t die zeit nach der Sprengung in Minuten und f(t) die Feinstaubkonzentration in ug/m³ an.
Die aufgabe dazu ist: Bestimmen sie mithilfe des GTR (Grafiktaschenrechner) den Zeitraum, in dem die Feinstaubkonzentration höher als 500 ug/m³ war.
Vielen vielen dank schon mal im voraus :)
4 Antworten
Sei folgende Funktion gegeben:
f(x) = 0.015*x^3 - 2*x^2 + 70x
Zunächst berechnen wir die Nullstellen der Funktion:
f(x) = 0
-> x*(0.015*x^2 - 2*x + 70) = 0
Wir erhalten insgesamt lediglich 1 Nullstelle, da das Polynom 2.Grades welches hier als Faktor enthalten ist keine reellen Nullstellen aufweist.
Mit f(-inf) = -inf und f(+inf) = +inf , folgt nun mit der Tatsache, dass lediglich eine reelle Nullstelle vorliegt, dass ein Vorzeichenwechsel vorliegen muss, von "-" nach "+".
Wir konzentrieren uns also auf: x > 0
Wir untersuchen die Funktion nun auf Extrema im Bereich x > 0 :
f´(x) = 0.045x^2 - 4x + 70
f´´(x) = 0.09x - 4
Aus der notwendigen Bedingung erhalten wir die kritischen Stellen:
f´(x) = 0 ---> x1 = 23.9566 , x2 = 64.9323
Das hinreichende Kriterium liefert uns dann:
f´´(x1) < 0 ----> lokales Maximum
f´´(x2) > 0 ----> lokales Minimum
Für die Funktionwerte an besagten kritischen Stellen erhalten wir dann:
f(x1) = 735.362
f(x2) = 219.371
Wir folgern daraus für die Gesuchten Bereiche:
1) 0 < Bereich 1 < x1
2) x1 < Bereich2 < x2
3) x2 < Bereich 3
Jetzt gilt es nur noch die Lösungen für folgende Gleichung zu bestimmen:
f(x) = 500
die Lösungen dieser Gleichungen zusammen mit unserem bisherigen Wissen über den Verlauf der Funktion liefert uns dann die Lage der gesuchten Bereiche. Da es sich um eine Funktion 3.Grades handelt lassen sich die Lösungen nicht so einfach bestimmen wie bei quadratischen oder linearen Funktionen. Es gibt zwar eine Lösungsformel, die Cardanische Formel, jedoch ist diese im vergleich zur pq-Formel relativ aufwendig in der Anwendung. Wir werden hierfür nun lediglich die entsprechende Funktion in unserem TR benutzen. Wir erhalten damit also Lösungen:
x1 = 80.05151
x2 = 43.24482
x3 = 9.573426
Damit folgen dann die gesuchten Bereiche zu:
Bereich 1: [9.573426 , 43.24482]
Bereich 2: [80.05151, +inf)
In diesen Bereichen gilt nun: f(x) > 500
Hier kannst du das ganze auch nochmal geplottet sehen:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=0.015x%5E3+-+2x%5E2+%2B+70x++%3E++500
500=0,015*x^3-2*x^2+70*x ergibt 0=0,015*x^3-2*x^2+70*x-500
Nullstellen bei x1=9,57.. x2=43,14.. und x3=80,51
Konzentration höher als 500 ug/m^3 bei 9,57<x<43,14 und x>80,51
Zeichne den Graph f(x)=0.015*x^3-2*x^2+70*x-500
Entweder fehlt hier ein Teil der Aufgabenstellung oder sie ist von Haus aus unvollständig.
Wie ist denn der Definitionsbereich der Funktion? 0 < t < ???
Der Rest ist dann wie in der Aufgabenstellung verlangt durchzuführen, Funktion in GTR eingeben und im Definitionsbereich zeigen lassen. Eine anlaytische Lösung verlangt da keiner (Merke: Aufgabe immer zuerst ganz durchlesen ! ;-)
Sie wäre zudem falsch, wenn sie ausserhalb liegt.
due formel in den gtr eingeben und vom Gtr die lösung verlangen.