Wie finde ich den Grenzwert heraus?

Answer 1

[Rammstein53]

Die einzelnen Terme der Reihe kann man auch so schreiben:

$\sqrt{\frac{1}{2^k}}=\ \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^k$

Damit entspricht die Reihe der geometrischen Reihe

$\sum_0^{\inf}\ q^{k\ }=\ \frac{1}{1-q}$

mit q = 1/sqrt(2). Der Grenzwert ergibt sich somit zu 2 + sqrt(2).

Comments

[Rammstein53]

Danke für den Stern.

[LoverOfPi]

Das ist einfacher als meins. Naja. Ich hatte diese Nacht keinen Schlaf :D

Answer 2

[LoverOfPi]

$\sum_{i=0}^{\infty}\sqrt{\frac{1}{2^i}}=\sum_{i=0}^{\infty}\sqrt{\frac{1}{2^{2i}}}+\sum_{i=0}^{\infty}\sqrt{\frac{1}{2^{2i+1}}}=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{2^i}+\sum_{i=0}^{\infty}\frac{2}{2}\cdot\sqrt{\frac{1}{2^{2i+1}}}$ $=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{2^i}+\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\sum_{i=0}^{\infty}\sqrt{\frac{2}{2^{2i+1}}}$ [Ups, ich habe im letzten Schritt der ersten Formelreihe die Wurzel um 2/2 vergessen]

$=\sum_{i=0}^{\ \infty}\frac{1}{2^i}+\frac{1}{\sqrt{2}}\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{2^i}$ Siehst du jetzt, wie es weiter geht?