Wie erkennt man Wendestellen in einer Funktion wenn man den Graphen vor sich hat?

Änderung des Krümmungsverhaltens (rechtsgekrümmt -> linksgekrümmt oder umgekehrt)

Bei zweimal differenzierbaren Funktionen bedeutet das einen Vorzeichenwechsel in der 2. Ableitung.

Bei zweimal stetig differenzierbaren Funktionen eine Nullstelle der 2. Ableitung.

Das ist erst einmal eine notwendige Bedingung.

Eine hinreichende (aber nicht notwendige) Bedingung ist bei dreimal differenzierbaren Funktionen, dass zusätzlich die 3. Ableitung ungleich 0 ist.

Notwendig bei 4mal differenzierbar: zusätzlich 3. Ableitung gleich 0, 4. Ableitung gleich 0

Hinreichend bei 5mal differenzierbar: zusätzlich 4. Ableitung gleich 0, 5. Ableitung ungleich 0

etc.

Am Graphen der Funktion erkennst du sie daran, dass die Krümmungsart sich ändert. Das heißt der Punkt, in der eine Rechtskrümmung in eine Linkskrümmung übergeht oder andersherum eine Linkskrümmung in eine Rechtskrümmung übergeht.

Mathematisch am notwendigen Kriterium über:



und über die hinreichende Bedingung:



bzw. über Vorzeichenwechselkriterium.

Rein anschaulich: Stell dir vor, du fährst mit dem Fahrrad über die Funktion.

Dann ist der Wendepunkt der Punkt, an dem sich die Richtung ändert, in die du lenken musst.

Rechnerisch sind deine Wendepunkte die Nullstellen der 2. Ableitung, für die zusätzlich gelten muss, dass die 3. Ableitung an diesen Stellen ungleich 0 ist.

Wenn du mit "Wendestelle" ein Maximum oder Minimum meinst, dann erkennst du das daran, dass sich das Vorzeichen der Ableitung ändert.

Das Krümmungsverhalten ändert sich an einer Wendestelle. Aus einer Rechtskrümmung wird eine Linkskrümmung und umgekehrt.