Wie berechnet man den temperaturabhängigen Druck in einem Schnellkochtopf?
Angenommen ich habe einen Schnellkochtopf mit dem Volumen 60 ml und fülle ihn mit 50 ml 4°C warmem Wasser (ja, das sind unrealistische Volumina für einen Schnellkochtopf, aber es geht ja um die Theorie).
Der Schnellkochtopf ist vollständig dicht, nichts kann aus ihm entweichen, und sein Volumen ändert sich nicht.
Jetzt erhitze ich den Schnellkochtopf auf 201,4 °C, bzw. 474,55 K.
Wie berechne ich jetzt den Druck, der dadurch auf den Schnellkochtopf wirkt?
Meine eigenen Gedanken:
Erstmal befinden sich in dem Topf mit dem Volumen von 60 ml neben den 50 ml ja auch noch 10 ml Luft in dem Topf. Da bei gleichbleibender Stoffmenge für ein ideales Gas gilt (Druck*Volumen)/Temperatur = konstant ergibt sich:
100 kPa*0.000010 m³/277,15 K = p*0,000010 m³/474,55 K
p = 171,23 kPa. Durch die Temperaturerhöhung auf 201,4 °C ist der Druck in den 10 ml Luft in dem Topf also um ca. 0,71 bar gestiegen.
Jetzt fängt aber auch das Wasser in dem Topf an zu sieden. Der Sättigungsdampfdruck von Wasser bei 201,4 °C beträgt 16 bar. Der Sättigungsdampfdruck ist ja der Druck, der auf ein flüssiges Medium herrschen muss, damit genauso viele Moleküle des flüssigen Mediums in die Gasphase übergehen, wie von der Gasphase in die flüssige Phase übergehen. Das bedeutet, dass bei 201,4 °C das Wasser solange weiter sieden wird, bis so viel Wasser in die Gasphase übergegangen ist, dass das Gas aus Luft und Wasserdampf über dem flüssigen Wasser insgesamt einen Druck von 16 bar auf das flüssige Wasser ausübt.
Aber bedeutet das jetzt automatisch, dass bei 201,4 °C diese 50 ml Wasser zusammen mit den 10 ml Luft in dem 60 ml Topf auf jeden Fall einen Druck von 16 bar erzeugen werden?
Was, wenn die 50 ml Wasser gar nicht ausreichen, um einen Druck von 16 bar zu erzeugen, selbst wenn sie vollständig zu Wasserdampf werden? Woher weiß ich, dass die 50 ml ausreichen werden, um 16 bar zu erzeugen?
Was, wenn z. B. nur 5 ml Wasser in dem Behälter wären, wie groß würde dann der Druck in dem Behälter bei 201,4 °C werden?
Hier würde ich mich sehr über ein paar Tipps freuen, wie man ausrechnet, wie groß der Druck in einem geschlossenen Behälter mit Wasser abhängig von dem Volumen des Wassers im Topf, der Temperatur des Topfinhaltes, und des Topfvolumens berechnet werden kann.
2 Antworten
Nur als Ergänzung:
Das bedeutet, dass bei 201,4 °C das Wasser solange weiter sieden wird, bis so viel Wasser in die Gasphase übergegangen ist, dass das Gas aus Luft und Wasserdampf über dem flüssigen Wasser insgesamt einen Druck von 16 bar auf das flüssige Wasser ausübt.
Das ist richtig. Das Wasser siedet, bis der Gesamtdruck den Sättigungsdampfdruck erreicht hat. Danach aber verdampft (bzw. verdunstet) das Wasser weiter, bis der Wasserdampf-Partialdruck gleich dem Sättigungsdampfdruck ist.
Jetzt erhitze ich den Schnellkochtopf auf 201,4 °C, bzw. 474,55 K
Dann entnehmen wir den Dampfdruck einer Wasserdampftafel:
Durch lineare Interpolation zwischen 190 °C und 210 °C erhalten wir den Dampfdruck von 16,27 bar. Das ist der Partialdruck des Wasserdampfes, dazu kommt der Partialdruck der Restluft. Da das Molvolumen idaler Gase vom Stoff unabhängig ist, können wir überschöägig sagen, dass der Gesamtdruck 1/16 höher ist als der Dampfdruck, womit wir als Gesamtdruck pges erhalten:
pges = 17/16 * 16,27 bar = 17,3 bar
(auf Wunsch könnte man die Stellen hinterm Komma auch noch genauer ausrechnen).
Woher weiß ich, dass die 50 ml ausreichen werden, um 16 bar zu erzeugen?
Das kriegt man ebenfalls aus der Dampftafel raus.
Zunächst ermitteln wir das spezifische Volumen v'' des Wasserdampfes bei 201,4 °C durch lineare Interpolation in der Wasserdamopftafel:
v''(201,4 °C) = 0,1266 m^3/kg
Aus V = m * v berechnen wir:
m = V / v'' = 60*10^-6 m^3 / 0,1266 m^3/kg = 473,93 * 10^-6 kg = 0,474 g
Diese Masse würde also reichen, um die gesamten 60 ml mit ausreichend Dampf zu füllen.
Nun rechnen wir aus, welches Volumen das flüssig wäre, und zwar bei der Temoeratur, mit der wir es einfüllen und da nehmen wir mal frisches Leitungswasser mit 10 °C.
Der Dampftafel entnehmen wir:
v'(10 °C) = 0,0010003 m^3/kg
Damit können wir das Volumen berechnen, das erforderlich ist:
V = m * v' = 473,93 * 10^-6 kg * 0,0010003 m^3/kg = 0,474 * 10^-6 m^3 = 0,474 ml
Das mag recht wenig erscheinen, aber man bedenke, dass sich das Volumen beim Verdampfen bei 17 bar um etwa den Faktor 130 vergrößert (v''/v').
Bei idealen Gasen verteilt sich der Partialdruck entsprechend der Molanteile und die Molanteile in idealen Gasen sind direkt abhängig vom Volumenanteil.
Das liegt daran, dass 1 Mol eines idealen Gases, egal um welches es sich handelt, bei Normalbedingungen immer ein Volumen von 22,4 l hat.
Ich nehme auch mal den Wasserdampf als ideales Gas an, obwohl das eine grobe Vereinfachung in der Nähe der Siedekurve ist.
Weiter: wenn die Luft beim Schließen des Topfes 100 % des Volumens einnahm und der Druck auf 16 bar steigt, hat sie danach nur noch 1/16 des Gasvolumens. Hm, womöglich wre es sinnvoller, den Partialdruck des Dam,pfes mit 16/15 zu multiplizieren.
Danke vielmals.
Weiter: wenn die Luft beim Schließen des Topfes 100 % des Volumens einnahm und der Druck auf 16 bar steigt, hat sie danach nur noch 1/16 des Gasvolumens.
Dies ist bei idealen Gasen nicht der Fall. In diesem Modell gibt es keine Wechselwirkung zwischen den Gasteilchen, also auch nicht zwischen den Luft- und Wassermolekülen. Den Luftmolekülen steht das ganze Volumen zur Verfügung (da das flüssige Wasser abnimmt, nimmt das Volumen sogar leicht zu, was aber sicher vernachlässigbar ist). Ein Faktor 16/15 oder 17/16 würde voraussetzen, dass man weiss, dass 16 mal mehr Wasserdampf- als Luftmoleküle bei T=201.4°C vorhanden sind, was aber nicht der Fall ist.
Dies ist bei idealen Gasen nicht der Fall.
Doch, siehe Gesetz von Boyle-Mariotte
Den Luftmolekülen steht das ganze Volumen zur Verfügung
Praktisch ja, aber man kann sich ja ohne weiteres vorstellen, Luft- und Wassermoleküle wären getrennt. Dann wird das ursprüngliche Luftvolumen durch den Druckanstieg auf ein 1/16 des Volumens komprimiert. Na ja, durch die Erwärmung dehnt es sich auch wieder etwas aus, aber da ging es ja zunächst nur um eine überschlägige Abschätzung. Um die Stellen hinterm Komma genauer zu kriegen, müsste man eine polytrope Zustandsänderung berechnen. was ich mir aber sparen wolte.
Den Zusammenhang mit dem Bolye-Mariotteschen Gesetz sehe ich nicht. Der Partialdruck des Wassers ergibt sich aus der Dampfdruckkurve, der Partialdruck der Luft aus der Zustandsgleichung für die Luftteilchen. Letztere verhalten sich im Modell des idealen Gases so, als wäre der Wasserdampf gar nicht vorhanden.
Letztere verhalten sich im Modell des idealen Gases so, als wäre der Wasserdampf gar nicht vorhanden.
Genau das ist ein weit verbreiteter Irrtum. Deshalb denken auch viele, feuchte Luft wäre schwerer als trockene Luft, weil der Wasserdampf sozusagen in der Luft gelöst sei oder irgendwie dazukommt. Dem ist aber nicht so. Feuchte Luft ist leichter als trockene Luft.
Die Wassermoleküle verdrängen die Luftmoleküle, weil ja 1 mol eines idealen Gases bei Normalbedingungen immer 22,4 l hat, egal ob es reine Luft, reiner Wasserdampf oder ein Gemisch von beiden ist. Durch diesen Verdrängungsmechanismus kann man sich die Luftmoleküle sozusagen vorstellen als wären sie zusammen in eine Ecke gedrängt.
Dies ist m.E. nicht richtig. Dass feuchte Luft bei gleichem (Gesamt-)Druck eine geringere Dichte hat als trockene Luft, liegt an der geringeren molaren Masse des Wassers. Dass Wassermoleküle die Luftmoleküle "verdrängen" würden, trifft im Modell des idealen Gases nicht zu, denn es gibt in diesem Modell schlicht keine Wechselwirkungen zwischen den Gasteilchen. Im vorliegenden Fall hat der Partialdruck von 16bar der Wassermoleküle -immer im Modell des idealen Gases- keine Auswirkung auf die Luftmoleküle. Wie auch? Es gilt für sie die Zustandsgleichung für ideale Gases, wobei V dem gesamten Volumen entspricht.
denn es gibt in diesem Modell schlicht keine Wechselwirkungen zwischen den Gasteilchen.
Außer dass sie ständig kollidieren und den Impuls austauschen.
Fällt dir übrigens was auf? Wir haben unterschiedliche Betrachtungsweisen der Vorgänge, kommen aber zum selben Ergebnis. Insofern ist der Vorwurf, meine Betrachtungsweise wäre falsch, falsch, die könnte dann höchstens schwer nachvollziehbar sein.
Bei mir ergibt sich der Partialdruck der Luft zu 1 bar + Druckanstieg durch Erwärmung, weil ich die beiden Gase gedanklich trenne.
Du erhälst mit deiner Vorstellung das Ergebnis, dass der Partialdruck der Luft bei 1 bar bleibt + Druckanstieg durch Erwärmung, weil die sich gegenseitig nicht beeinflussen.
Genau gerechnet würde sich nach dem Gesetz von Amontons für den Partialdruck der Luft ergeben:
p2 = 1 bar * 476/298 = 1,6 bar
Womit der Gesamtdruck 16 bar + 1,6 bar = 17,6 bar wäre. Da lag ich mit den 17,3 als Abschätzung gar nicht so weit weg.
Nur nebenbei: je länger ich drüber nachdenke, umso besser gefällt mir deine Herangehensweise.
Nur aus Interesse: kannst Du nochmals erklären, weshalb der Gesamtdruck gleich 17/16 mal den Partialdruck des Wasserdampfs ist? Der Partialdruck der Luft nimmt doch einfach, wie in der Frage schon richtig berechnet, proportional zur absoluten Temperatur zu (sieht man von der geringfügigen Volumenzunahme infolge Verdampfen des Wassers ab).