Wie berechne ich 7^(7^7) mod 100 mittels Fermant?

Gesucht sind die letzten beiden Ziffern von 7^(7^7). Die sollen natürlich ohne Taschenrechner berechnet werden.

Ich verstehe wie man z.B. die letzen beiden Ziffern von 7^7 berechnet

7^1 = 7 = 7 mod 100

7^2 = 49 = 49 mod 100

7^3 = 343 = 43 mod 100

7^4 = 2401 = 1 mod 100

7^(4+3) = 7^4 * 7^3 , wobei 7^4 = 1 mod 100

folgt 1* 7^3 mod 100 = 43, womit die letzen beiden Ziffern 4 und 3 sind.

Wie berechne ich die letzen beiden Ziffern von 7^(7^7) mit dem gleichen/ähnlichen Weg?

Answer 1

[Mathmaninoff, UserMod Light]

Gesucht sind 7^x mod 100.

Anscheinend weißt du schon, dass das Ergebnis nur von x mod 4 abhängt.

Berechne also x mod 4 auf die gleiche Weise. In dem Fall also 7^7 mod 4.

Spoiler: $7^1 = 7 \equiv 3 \text{ mod } 4$ $7^2 = 49 \equiv 1 \text{ mod } 4$ $7^{3\cdot 2 + 1} = 4k + 1 \equiv 1 \text{ mod } 4 \text{ für ein } k \in \mathbb{N}$ $7^{7^7} = 7^{4k + 1} \equiv 7 \text{ mod } 100$ $7^1 = 7 \equiv 3 \text{ mod } 4$

Comments

[eterneladam]

Warum soll das nur von x mod 4 abhängen? Sollte das Ergebnis mod 100 nicht 43 sein?