Wie begründe ich die Monotonie der Logarithmusfunktion?
Es gilt lnx < lny für 0 < x < y.
6 Antworten
Du könntest z.B. die Differenz x1-x2 betrachten (auf die Idee kommt man durch die Definition der Monotonie: http://de.wikipedia.org/wiki/Monotonie_%28Mathematik%29), wobei x1 > x2 beliebig gewählt sind. Es gilt dann für die Differenz der entsprechenden Funktionswerte: ln(x1) - ln(x2) = ln(x1/x2) > 0
Daraus folgt die Monotonie-Eigenschaft.
Wenn die Basis a zwischen Null und Eins liegt (0<a<1), dann ist die Logarithmusfunktion streng monoton fallend, d.h. die Funktionswerte nehmen von links nach rechts beständig ab.
Die Funktionswerte nehmen von links nach rechts nicht nur ständig ab, die Funktionswerte gehen sogar gegen "Minus Unendlich". (Beachte: Nicht jede streng monoton fallende Funktion geht auch automatisch gegen "Minus Unendlich", sie könnte auch konvergieren, mehr im Kurs Grenzwerte).
Je mehr man sich dagegen der Stelle x=0 nähert, desto mehr schmiegt sich der Graph der Funktion an die y-Achse an. Man sagt, die y-Achse ist eine vertikale Asymptote der Funktion. Die Funktionswerte gehen dabei gegen "Plus Unendlich".
Hallo,
es wurden ja schon richtige Antworten genannt, einige benutzen ein Logarithmusgesetz, andere (von drkuschel) einen fundamentalen Satz der Differentialrechnung.
Hier jetzt noch eine dritte Version:
Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der streng monoton wachsenden Exponentialfunktion.
Sei nun y1>y2, dann existieren x1 und x2 mit y1=e^x1 und y2=e^x2, es gilt dann e^x1>e^x2. Da die e-Funktion streng monoton steigend ist, gilt x1>x2 und damit ln(y1)>ln(y2).
Behauptung:monoton steigend: x1<x2 daraus folgt:lgx1<lgx2 jetzt umformen: lgx1-lgx2<0 dann logarithmus-gesetz lg(x1/x2)<0 wenn, wie vorausgesetzt x1<x2 dann ist x1/x2 ein echter Bruch also <1 und somit ist lgx1-lgx2<0 genauso wie lg(x1/x2) gruß EJ
Die Ableitung von ln(x) ist 1/x und der Term 1/x ist für alle x größer 0 positiv. Das heißt die Funktion ist streng monoton steigend Weil sie im gesamten Definitionsbereich eine positive Steigung hat.
Gute Antwort (DH), wenn der Fragesteller aber in Klasse 10 ist, nützt ihm dies nichts.
das beantwortet mir doch nur was monotonie ist und nicht wie ich diese begründe