Monotonie von f: R -> [1,unendlich), f(x)=cosh(x)?
wie kann ich die Monotonie zeigen, wir dürfen keine Ableitungen benutzen. Könnte mir sie jemand erklärend vorrechnen?
3 Antworten
Wir nutzen aus: cosh(x) = 1/2(e^x + e^-x)
Sei a>0, dann
cosh(x+a)=1/2(e^(x+a) + e^-(x+a)) > 1/2(e^(x) + e^-(x)) = cosh(x)
Aus der Ungleichung cosh(x+a) > cosh(x) folgt direkt die Monotnie.
Vielleicht zeigen, dass der (Grenzwert des) Differenzenquotienten zwischen zwei beliebigen Punkten immer größer als Null ist?
Ich setze voraus
x > 0 ===> cosh ( x ) > 1 ; sinh ( x ) > 0 ( 1 )
Dann hast du das Additionsteorem
cosh ( a + b ) = cosh ( a ) cosh ( b ) + sinh ( a ) sinh ( b ) ( 2 )
Wir haben zunächst einen proportionalen Beitrag; das Produkt zweier Zahlen größer eins ist natürlich größer als jeder der Faktoren. Dazu kommt noch das positive sinh Restglied.