Wie ändert man die Integrationsgrenzen bei Substitution in Doppelintegralen?

Hallo. Ich habe das Doppelintegral

$\int_0^{^{\infty}}\int_0^{^{\infty}}f\left(t,s\right)dtds$

vorliegen. Nun möchte ich s = ur, t = u(1-r) substituieren. Ich habe schon nachgerechnet was mit dtds passiert, aber nun frage ich mich, wie die Integrationsgrenzen sich ändern. Hätte ich nur ein Integral dann hätte ich einfach nach der Substituionsvariable umgeformt, die transformierten grenzen wären gegeben in dem ich einfach die Anfangsgrenzen in die Substitution einsetze. Wenn ich hier umforme bekomme ich: r = s / (t+s) und u = t + s. Irgendwie siehts für mich logisch aus, wenn r von 0 bis 1 geht, und u von 0 bis unendlich. Kann mir jemand erklären wie man sowas macht?

Answer 1

[eterneladam]

Du musst den https://de.wikipedia.org/wiki/Transformationssatz anwenden, dazu brauchst du die Funktionaldeterminante der Transformation

t = u(1-r), s = ur

Das ist (1-r)u + ru = 1, was dir das Leben leichter macht.

Dann brauchst du noch die neuen Grenzen, bzw. das Urbild des ersten Quadranten (0,unendlich) x (0,unendlich) unter der obigen Transformation. Da bin ich mit dir einig, das ist (0,1) x (0,unendlich), d.h. r geht von 0 bis 1, u von 0 bis unendlich.

Comments

[physikfrage1]

Ah, genau danach habe ich gesucht, Transformationssatz, hab schon wieder alles vergessen, wie es scheint. Danke!