Wer kann mir bei der matheaufgabe helfen?
Hallo, ich muss nächste Woche Montag eine Klausur nachschreiben in Mathe. Es geht um stochastik, bis jetzt kam ich gut mit den Aufgaben zurecht, doch eine Aufgabe bekomme ich nicht hin. Leider sind momentan Ferien und Ichlaut meine Lehrerin nicht um Rat fragen. Ich hoffe ihr könnt mir helfen: die Aufgabe lautet so: Ein Feriendorf nimmt 50 Buchungen entgegen, obwohl nur 48 Wohnungen vorhanden sind, denn in den letzten Jahren wurden 10% der Buchungen storniert. A) mit welcher Wahrscheinlichkeit wurden zu viele Buchungen angenommen? B) mit welcher Wahrscheinlichkeit war sogar noch mehr Platz übrig? C) wieso würden sie wiellwicht sogar noch mehr Buchungen entgegennehmen?
Ich hoffe mir kann jemand helfen, weil ich stecke hier echt fest:(
5 Antworten
A.1. Wenn für jede Wohnung die Wahrscheinlichkeit der Stornierung 10% = 0,1 ist, dann hat die Wahrscheinlichkeit, dass k Wohnungen nicht besetzt werden, mit 1 -0,1 = 0,9 per Biomialverteilung die (Wahrscheinlichkeits)dichte:
P(X=k) = (48 über k) * 0,1^k * (0,9)^(48-k)
50 Buchungen sind nicht zuviel, wenn 3 oder mehr Plätze nicht besetzt werden.
Um die Wahrscheinlich P(X = nicht zu viele Buchungen) zu erhalten, ist also über die Wahrscheinlichkeiten für k = 3, 4, ..., 48 zu summieren.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit P(X = zu viele Buchungen) ist dann 1 - P(X = nicht zu viele Buchungen)
A.2. Für erforderliche Summation benutzt du am besten eine entsprechende Tabelle (die Werte für Binomialverteilungen sind vertafelt) oder eine Rechenprogramm.
Falls nicht vorhanden, lässt sich das auch von Hand ausrechnen.
Bedenke dann aber: Die Funktion P(X) ist für k > 12 streng monotonfallend, d.h. die letzten 25 Summanden ergeben in der Summe weniger als das 25fache des z.B. 12ten Summanden. Überlege also, ob es im Rahmen einer sinnvollen Genauigkeit klug ist, diese 25 Summanden stundenlang brav auszurechnen (oder ob du die Summe nicht besser abschätzt).
B. Es bleiben nach der zusätzliche Buchung zweier Plätze noch Plätze übrig, wenn 5 oder mehr Plätze nicht besetzt werden.
Also ist die oben angegebenen Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion für k = 5, 6, ..., 48 zu summieren.
C. Wenn dir die in B. berechnete Wahrscheinlichkeit "zu hoch" vorkommt, würdest du wohl noch krimineller überbuchen... Aber das bleibt deiner subjektiven Entscheidung überlassen.
psychironiker
Sicherlich, selbstredend (deswegen erwähnte ich das nicht extra). Grundsätzlich würde ich in solchen Fällen immer die Gegenwahrscheinlichkeit ausrechnen, wenn deren Summe weniger Summanden hat, und mit "P' = 1 - P" wieder zurück. Aber Vorsicht: Die Summierung geht nicht über die Differenzialquotienten allein (deine Formulierung klingt ein wenig so), sondern wirklich über die Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktion, in der der Binomialkoeffizient nur ein Faktor ist.
Allerdings komme ich auch selber nicht immer gleich drauf (wenn ich noch "zu sehr" mit der Erstellung des Ansatzes befasst bin), wie du an der Abfolge meiner ersten beiden Antworten erkennst.
psychironiker
zu A. STOPP, das geht einfacher: Statt über k = 3,4,...,48 zu summieren, kannst du auch über k=0,1,2 summieren, erhältst P'. Das ist viel einfacher, vergiss also A.2. in meiner vorangehenden Antwort.
Denn dann ist P(X = nicht zu viele Buchungen) = 1 - P', weil die Summe aller Dichten einer (diskreten) Dichtefunktion 1 ist.
Weil nun aber P(X = zu viele Buchungen) auch gleich 1 - P(X = nicht zu viele Buchungen) ist, folgt daraus: P(X = zu viele Buchungen) = P'.
Also ist die Rechnung mit der Bestimmung von P' beendet.
Mein Rechenprogramm gibt als diese Summe 0,1289... also 12,9% an.
zu B.
Mein Rechenprogramm findet als Ergebnis 0,5314... = 53,1%.
psychironiker
Super vielen dank das hat mir sehr geholfen:) ich konnte das rechnerisch nachvollziehen , vielen vielen dank
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Für a) ist die Überlegung: Wann genau ist denn zu viel gebucht? Genau dann, wenn nicht wenigstens zwei Buchungen abgesagt wurden. X sei die Anzahl der Belegungen , also ist P(X>48) gesucht. Hier kannst du entweder zur Gegenw' übergehen oder das einfach mit der Hand ausrechnen: P(X>48) = P(X=49) + P(X=50)
Bei b) bin ich mir dann nicht ganz sicher, was der Fragesteller möchte? Geht man davon aus, dass von 50 Buchungen die vollen 10%, also 5 abgesagt werden und dann nur 45 Zimmer belegt sind? Dann wäre zu berechnen P(X=< 45)
Und bei c) müsste man dann denke ich argumentieren, dass bei angenommenen 10% Absagen mit ca so und so vielen Buchungen kalkuliert werden muss, damit am Ende doch alle 48 Zimmer belegt sind...
Hoffe du verstehst was ich meine.
du musst erstmal 10% der 48 Wohungen ausrechnen, denn hast du schonmal wie viele leute sonst immer storniert haben, also wie viele wohungen im endeffekt denn frei waren. und denn kannst du die aufgaben ausrechnen. hat das geholfen ?
Noch nicht ganz, ich Sitz hier echt fest, hab einen total Black Out...
Zu b kann man dann nicht auch die gegenwahrscheinlichkeit summieren also48 über0,1,2,3,4,5? Wäre dann ja in etwa wie in a, und c könnte ich dann sagen dass, weil das mehr als50 Prozent sind, man locker noch mehr überbrüchen könnte, wenn man kriminell veranlagt ist;)