Wenn einer in einer Mail statt Beste Grüße nun mit freundlichen Grüßen schreibt, heißt das das Verhältnis ist distanzierter geworden?

Das kann sein - vor allem, wenn er/sie bisher immer "Beste Grüße" geschickt hat - muss es aber nicht. Es kann z.B. auch sein - wenn es ein(e) Geschäftsfreund(in) ist - dass der/diejenige die Mail hat schreiben lassen. Dann könnte der- oder diejenige, der/die die Mail tatsächlich verfasst hat, eben "Mit freundlichen Grüßen" als Grußformel verwenden, und bei der Kontrolle (wenn es eine gab) ist das irgendwie durchgerutscht. Wer achtet auch groß auf eine Grußformel? Oder es wurde nur der sachliche Inhalt der Mail geprüft und die Grußformel erst danach ergänzt ... Ohne den genauen Zusammenhang zu kennen, kann man wirklich nur spekulieren.

Vom Sinngehalt her sind die beiden Grußformeln aber tatsächlich ziemlich identisch.

Nein, die Bedeutung ist mehr oder weniger die gleiche.