Was ist eine Bildkurve und wie erstelle ich diese? (Mathematik)?

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2 Antworten

Hallo Browsergamer13

Soweit mir bekannt ist, ist eine Bildkurve einfach ein Graph der Funktion, also eine Darstellung im xy-Koordinatensystem. Bei Aufgabe 3a) wird wohl für x der Wert x+pi/3 eingesetzt. Wenn jemand hier besser Bescheid weiß, möge er mich korrigieren.
Bei Aufgabe 3b) liegt das Symmetriezentrum bei der vorliegenden Gleichung
y = -0,5*x³ im Ursprung O(0I0). Wenn die Funktion zu eionem neuen Symmetriezentrum S(2I1) verschoben werden soll, setzt man für x neu x-2 und für y neu y-1.Damit heißt die neue Funktion:
y-1 = -0,5*(x-2)³ oder umgeformt. y = -0,5*((x-2)³ + 1. Man könnte sie auch ausmultiplizieren, was aber nicht sinnvoll ist.

Es grüßt HEWKLDOe.

Die Bildkukrve ist das "Bild" der Originalkurve unter einer "Abbildung" von Kurven auf Kurven.

Die Abbildung ist hier jeweils durch ihre "Koordinatentransformation" oder durch eine "Verschiebung" angegeben.

Anzugeben ist jeweils die (oder eine) Kurvengleichung der Bildkurve in Bildkoordinaten, also

y[quer] = f[quer] ( x[quer] )

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Als Beispiel nehme ich 3. b):

y = -0,5 x^3

Das Symmetriezentrum ist offensichtlich der Punkt (0|0). Dieser Punkt soll in den Punkt S(2|1) verschoben werden.

D. h. aus x = 0 und y = 0 wird xquer = 2 und yquer = 1

Da es sich um eine reine Verschiebung (ohne Skalierung) handelt, werden die Koordinaten durch Additionen transformiert. (Oder durch Subtraktion = Addition einer negativen Zahl, wir können also bei Addition bleiben).

D. h.

xquer = x + 2

yquer = y + 1

Um die Originalgleichung zu transformieren, müssen wir die Originalvariablen irgendwie loswerden. Dazu lösen wir die letzten beiden Gleichungen nach den Originalvariablen x und y auf:

x = xquer - 2

y = yquer - 1

und setzen dies in die Originalgleichung

y = -0,5 x^3

ein. Damit erhalten wir

(yquer - 1) = -0,5 (xquer - 2)^3

Im Prinzip sind wir hier schon fertig. Wir haben eine ("implizite") Darstellung der Bildkurve als Gleichung.

Da die Originalgleichungen alle schon nach y aufgelöst sind, dürfte der Aufgabensteller erwarten, dass wir auch diese Gleichung nach yquer auflösen. Das ist glücklicherweise nicht schwer:

yquer = -0,5 (xquer - 2)^3 + 1

Ich würde hier aufhören, da man aus dieser Form noch ablesen kann, dass es sich um eine verschobene Funktion handelt (insbesondere sieht man sofort, dass die Wendetangente waagerecht ist). Aber wir können auch den Term rechts ausmultiplizieren:

yquer = -0,5 xquer^3 + 3 xquer^2 - 6 xquer + 5

Ok, habe ich verstanden, danke. 

Jedoch stellt sich immer noch die Frage wie ich diese Bildkurve erstelle? 

Mein Prof. hat irgendwas mit negativieren gemacht, jedoch weiß ich nicht mehr so ganz wie das ging und warum sollten 3 Aufgaben die gleich Aufgabenstellung haben?

Die Aufgabe 3b war ja quadratische Ergänzung.

Mit freundlichen Grüßen 

Bg13

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@Browsergamer13

Quadratische Ergänzung braucht man bei keiner der Aufgaben. Was hat der Prof denn da gemacht?

Mehrere Aufgaben mit der gleichen Aufgabenstellung: die Details sind unterschiedlich - Verschiebung / Skalierung; x-Richtung / y-Richtung

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Naja Verschiebung des Symmetriezentrums mit Einsetzung des Punktes (2/1).

Naja könntest du mir vielleicht mal die erklären was ich z.b. bei der 3a machen muss? 

Ich verstehe nicht warum ich da das negativierte x = x mal pi/3 habe und was ich da im allgemeinen überhaupt bei den  Aufgaben 3-5 machen muss.

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@Browsergamer13

In 3a) sind ja die Transformationsgleichungen vorgegeben. Du brauchst nur die Gleichungen nach x und y aufzulösen und in die Funktionsgleichung einsetzen.

x = xquer - π/3 ;  y = yquer

(Von dieser Auflösung nach x kommt das Minuszeichen vor π/3.)

Diese Ausdrücke in die Funktionsgleichung

y = sin(x)

einsetzen und so umformen, dass ein Ausdruck der Form

yquer = f(xquer)

entsteht.

3c): Der Scheitelpunkt der Originalkurve ist (0;0). Verschiebung nach (1; 4,5) bedeutet x -> x + 1, y -> y + 4,5; also

xquer = x + 1; yquer = y + 4,5.

Weiter wie oben.

In Aufgaben 4 und 5 sind die Transformationsgleichungen ebenfalls vorgegeben. Auch hier: nach x und y auflösen, in die Funktionsgleichung einsetzen, nach yquer auflösen.

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Man kann sich natürlich auch die allgemeinen Transformationsformeln für

xquer = ax * x + bx; yquer = ay * y + by

merken und direkt einsetzen, aber die Mühe habe ich mir nicht gemacht.

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