Was ist die Definition von Ausgleichsgeraden und wie kann ich sie genau legen?
Hallo,
ich werte gerade Messergebnisse von einem Physikversuch aus, und ich möchte wissen, ob mein Ansatz komplett falsch ist.
Die Aufgabe ist, die Masse (y-Achse) abhängig von der Zeit (x-Achse) linearisiert darzustellen. Ich habe einen zeitlichen Messfehler von 0.2s geschätzt und tue so, als hätte die Masse keinen Messfehler, damit ich nur horizontale Fehlerbalken habe.
Jetzt wollte ich die Gerade und deren Steigung bestimmen, das habe ich erstmal per Hand mit einer Zeichnung gemacht und das war nicht so genau. Dann dachte ich, dass man das vielleicht genauer ausrechnen kann.
Weil unser Physiklehrer gesagt hat, dass man die Ausgleichsgerade so zeichnet, dass ungefähr gleich viel über der Geraden liegt wie unter der Geraden, habe ich eine Formel entwickelt, mit der man die Steigung einer Geraden, die die Fehlerbalken so durchtrennt, dass die Hälfte der Summe der Länge der Fehlerbalken (die übrigens immer länger werden, weil die Zeit im Quadrat ist) über der Geraden liegen, ausrechnen kann.
Scheint auch ganz gut zu funktionieren, das Ergebnis deckt sich in etwa mit dem Ergebnis mit der Aufgabe davor, wo man die selbe Federkonstante mit anderen Mitteln herausfinden sollte.
Aber jetzt habe ich das gegoogelt und zu Ausgleichsgeraden nur etwas im Zusammenhang mit der linearen Regression für Punkte gefunden. Und mit der Summe der Längen der Balken hatte deren Methode nichts zu tun, sondern mit der Summe der Quadrate der Abstände zur Geraden.
Meine Fragen sind jetzt: 1. Ist das, was ich mit dieser Ausgleichsgeraden bezwecke, überhaupt das selbe wie wenn man verteilte Punkte durch eine Gerade annähern will? Ich will die Gerade durch die Balken legen. 2. Kann ich meine Überlegung in die Tonne treten, weil ich die Summe der Länge der Balken benutzt habe und der Abstand laut Wikipedia mit der Methode der kleinsten Quadrate zu minimeren ist? Oder bringe ich da gerade etwas in Verbindung, das keine Verbindung hat? Oder weiß ich generell gerade nicht was ich tue Dx
Ich hoffe ich habe mich verständlich ausgedrückt und es kommt überhaupt rüber, was ich fragen will. Ich freue mich, wenn einer von euch weiterweiß!
Lg HochlandTibet
3 Antworten
Huhu . . sofern du das Probl3m nicht schon ausgiebig gelöst hast, können wir noch diskutieren.
Fragen:
Wie ist die Masse für t=0 definiert?
Du hast die Zeitwerte auf der X-Achse mit +/- 0,2s; dazu gehörend, die entsprechende Masse auf der y-Achse, welche im Zeitfenster +/- 0,2 s einen Balken ergibt. Dan würde ja der nächste Zeitschritt folgen... sagen wir: t+dt
Warum taucht in deiner Beschreibung nun ein "Zeitquadrat" auf?
Warum nimmst du für die Masse keinen Fehler an? Ein Massefehler würde letztlich dazu führen, dass um den idealen Meßwert ein "Vertrauensfeld" berücksichtigt werden muß.
Ich verstehe folgendes auch nicht:
Du bestimmst eine Masse in Abhängigkeit der Zeit. Diese Massenbestimmung nimmst du ohne Fehler an, jedoch nimmst du einen Zeitfehler an. Dieser ist jedoch nicht relevant, da du keinen Massenfehler zuläßt >> es ergibt sich ein horizontaler Balken der Masse m(t) an der Stelle t_x +/- 0,2s.
Welchen Sinn macht hier eine Ausgleichsrechnung? Du kannst genau so gut die Werte zu jeweiligen Meßzeitpunkt nehmen, denn der Meßwert ändetrt sich ja nicht in Abhängigkeit der Zeit.
Danke für die Erklärung . . . ich meld mich wieder, muss erst mal nachdenken.
ich war eben etwas irritiert... deshalb dachte ich, es dauert länger.
Deine Aufgabe habe ich verstanden: du bestimmst die Periodendauer abhängig von der Masse.
Wegen: T = 2*Pi * Wurzel (m/c) habt ihr quadriert und kriegt
T^2 = 2*pi*m/c. Damit ist T^2 = f(m).
Danach ist es jedoch so, dass T^2 die Abhängige und m die Unabhängige ist.
Also: es gibt aus meiner Sicht ein Diagramm mit T^2 als y-Achse und m auf der x-Achse.
Damit stimmt die Welt der Ausgleichsgeraden wieder.
Du kannst die Gerade entweder per Hand einlegen oder als Regr.Gerade berechnen.
Zum Fehler: 0,1 Sekunden erscheint mir wenig, da einmal die Reaktionszeit (0,1 s ist schon gut) aber auch die Ortsbestimmung des Extremwertes eingeht.
Ich weiß nicht, wie die einzelnen T sind aber wenn, sagen wir T einmal 1 Sekunde und bei großen Massen 10 Sekunden ist, sind die Fehlereinflüsse z.B. bei der Extremwertbestimmung bei 1Sekunde signifikanter.
Oh, okay. Ja, das ergibt eigentlich Sinn. Ich verstehe aber dann nicht, wie dann die Federkonstante als Steigung der Geraden herauskommen soll, weil dann die Einheit ja falschrum steht, also s^2/kg anstatt kg/s^2, oder stehe ich da auf der Leitung?
Naja, ich hatte in beide Richtungen 0,2s angenommen, also 0,4s insgesamt. Das habe ich von Wikipedia, da stand, dass LKW Fahrer eine Reaktionszeit von 0,2-0,3s haben
Ah ich habs doch verstanden, jetzt kommts hin. Ach mist, mich hat noch einer aus einer anderen Gruppe gefragt, was auf welche Achse soll und ich meinte so "jaja T kommt zur x Achse" xD
ok . . . +- 0,2 Sekunden mach Sinn!.... Gutes Gelingen!
Ich habe doch noch eine Frage. Und zwar zu Ausgleichsgeraden an sich. Wir haben im Unterricht nicht wirklich über Fehlerrechnung geredet, aber Kopien aus einem Lehrbuch bekommen.
Und in denen steht unter Fehlerintervall, dass Ergebnisse nicht als Punkte sondern als Intervalle zu verstehen sind, weil man ungenau misst. Und: "Kein Punkt innerhalb des Intervalls ist gegenüber dem anderen ausgezeichnet" und das gemessene Ergebnis ist nicht besser als die anderen Punkte in dem Intervall.
Ich verstehe nicht, warum man die lineare Regression anwendet, die zum Ziel hat, dass die Summe der Abweichungsquadrate minimal wird, also dass die Gerade möglichst nah an allen Messwerten verläuft.
Wenn jeder Punkt gleich gut ist, also dieser Messwert nicht besonders ausgezeichnet ist, warum will ich die Gerade dann nah an diesen Punkt legen?
Diese Frage würde ich mir nicht stellen, wenn jeder Fehlerbalken eines Messwerts gleich lang nach oben wäre wie nach unten, dann wäre es ja egal. Aber weil meine Zeit ja im Quadrat steht, quadrieren sich auch die +0.2 und -0.2s und deshalb ist der Balken nach oben hin länger als nach unten.
Super . . du willst der Sache auf den Grund gehen und nicht einfach zur Tagesordnung wechseln!!
Fehlerbetrachtungen sind ein Thema für sich und es gibt super Abhandlungen und Lehrbücker nur zu diesem Thema.
Ohne deine Überlegungen in Zweifel ziehen zu wollen, erscheint eine Betrachtung der Auswertung angemessen.... aber ich will nicht die gesamte Vorgehensweise durcheinander bringen.
Deshalb nur ein paar Gedanken:
Einmal zur Meßgröße: Zeit
Man macht üblicherweise (über die Anzahl kann man trefflich streiten) 12 Messungen für eine Meßgröße, streicht dann den kleinsten und größten Wert >> dann arithm. Mittel bilden, damit kriegst du die Näherung an den realen Wert und Methode der Fehlerquadrate anwenden, um die Abweichung von diesem Mittelwert angeben zu können.
Du würdest erhalten: T = T_arithmMitte +/- delta_t
Ich weiß jetzt nicht, wie ihr gemessen habt:
10 Schwingungen zählen und dafür die Zeit messen?--- das wäre ganz ok, nur 1 Schwingung und zeit messen, wäre zu wenig. Warum? Nehmen wir an, 1 Schwingung dauert 1 Sek.; Meßunsicherheit +- 0,2 Sek >> relativer Fehler = 0,2/1 = 20%. Bei 10 Schwingungen >> relativer Fehler = 0,2/10 = 2%.
Gut wäre also: eine Versuchsdurchführung (für jeden Masse- Meßpunkt) mit 10 Messungen je 10 Schwingungen, um eine Auswertung machen zu können.
Zu deiner Annahme des Fehlers von 0,2s. Du hast angenommen:
T=Tmess +/- 0,2 .... dann ist T^2 = (Tmess +- 0,2)^2 hast du das angesetzt?
Nächster Schritt: c bestimmen und für c soll ja die Meßunsicherheit angegeben werden.
Wir haben T^2 = 1/c * 2*pi*m oder >> c = 2*pi*m/T^2
In diese Gleichung muß nun die Fehlerbetrachtung an der Stelle von T^2 einfließen. Damit erhlät man für jede Masse ein etwas anderes c mit unterschiedlichenMeßunsicherheiten.
Wahrscheinlich hätten wir bei jedem Massestück mehr Durchgänge machen sollen. Jetzt haben wir nur vier Mal pro anderer Masse die Zeit gemessen. Und das arithmetische Mittel aus den vier Zeiten habe ich dann als Messwert genommen.
Ja, für die Länge der Balken für die jeweiligen Massen dachte ich, dass sie von (T-0.2)^2 bis (T+0.2)^2 gehen, und den einen Wert (der Wert, der aus den vier Zeiten rauskam) habe ich als Punkt in die Mitte gezeichnet.
Aha, also kann man für jede Masse eine unterschiedliche Federkonstante rausbekommen? Ich hatte die Aufgabe so verstanden, das wir c aus der Steigung der Geraden herausbekommen sollen, dann hat man nur ein einziges c: f(m)=T^2= (4*pi^2)/c * m
Dann wäre c = (4*pi^2)/Steigung der Geraden. Und dann sollten wir eine Grenzgerade legen, und aus der Differenz der beiden c Ergebnisse den Fehler bestimmen. So hat es sich zumindest in der Aufgabe gelesen. Gescheitert ist es daran, dass ich nicht wusste, was genau eine Grenzgerade auszeichnet, und als ich mir das überlegt habe, ist mir auch aufgefallen, dass ich nicht weiß, was eine Ausgleichsgerade ist. Und ich finde das super blöde, wenn man Verfahren benutzt, aber keine Ahnung hat, was dahintersteckt. Generell ärgert es mich etwas, dass ich gerade mit Zahlen und Ergebnissen um mich schmeiße und nicht weiß, warum genau ich was tue :(
nur ganz schnell: MISSVERSTÄNDNIS!!!
NEIN - - die Federkonstanten sind nicht abhängig von der Masse!!
Wenn es so angekommen ist, habe ich mich falsch ausgedrück!
Es war:
T^2= (4*pi^2)/c * m
c = 4*pi^2*m/T^2 ..... Was ich nun meinte:
du hast z.B. T1 = T1_mess + delta_t1 und
T2 = T2_mess + delta_t21
wenn du nun die beiden Massen nimmst und c berechnest, dann erhält man wegen des unterschiedlichen Fehlereinflusses für die Zeit T1 und T2 auch etwas andere c.... Bei einer idealen Betrachtung ist c unabhängig von der Masse.
Ne, so habe ich das auch verstanden wie du es jetzt geschrieben hast. Wenn es so ankam, dass ich dachte, dass c von der Masse abhängig ist, dann meinte ich das nicht so xD
ich habe mir deine Aufgabe nun mal in Ruhe vorgenommen und ein Beispiel gerechnet. Beides findest du im pdf.
1. vorgegeben habe ich 3 Massen und c.
2. Aus den Vorgaben die ideale Pendelzeit, T^2 und die T_min und T_max berechnet.
3. Dann das Diagramm. Hier sind die Tmin/Tmax verläufe dargestellt. Es macht nun keinen Sinn, hier Ausgleichsgeraden durchzulegen, weil die T-Stützstellen letztlich durch die Massenvariantion entstehen. Die einzelnen Meßpunkte kann man natürlich mit einer Meßunsicherheit belegen, so wie wir schon durchgesprochen haben.
Dann weiter:
Nun habe ich eine Rückrechnung auf die Federkonstante auf der Basis der Meßwerte (das ist ja deine Aufgabenstellung) gemacht.
Es gibt 2 C-Verläufe, einmal mit den Tmin und einmal mit den Tmax. Hier in 2 Diagrammen, weil ich nicht weiß, wie ich in exel unterschiedliche Stützstellen auf der x-Achse angeben kann.
Würden die in einem Diagramm dargestellt, so würde man einen c-Korridor erhalten, welcher immer enger wird....d.h. die beiden C nähern sich immer mehr an. Warum? Bei hohen T schlägt die angenommene Meßunsicherheit von 0,2s immer weniger zu Buche, der relative Fehler wird kleiner.
Durch diesen Korridor kann man nun eine Ausgleichsgerade zeichnen.... .
Vielen Dank für deine Mühe, mit Bild weiß man gleich besser was du meinst! Den oberen Teil hatte ich auch so.
Toll, dass sich da ein Korridor bildet, eigentlich müsste das mit meinen Zahlen ja auch klappen. Anscheinend habe ich dafür nicht genug Werte.. Wenn ich das mit meinen Messwerten mache, liegt c am Ende zwischen 11,66 und 36,5 N/m, mehr Werte um das enger einzugrenzen habe ich nicht.
Warum kann man in dem Diagramm mit T^2 und m keine Ausgleichsgerade durchlegen? Ich hatte halt gedacht, dass es geht, weil man jeden Wert der innerhalb der Intervalle leigt, gemessen haben könnte. Und es würde dann c = 18,02 rauskommen. Und aus Versuch 1 weiß ich, dass c = 18,4 plus minus 0,08 (wenn ich da nicht auch falsch gerechnet habe). Und wenn das nicht gehen würde, müsste es ja schon arger Zufall sein, dass in etwa die richtige Federkonstante rauskommt?
Da ich davon sowieso das Diagramm habe, habe ichs auch hochgeladen: http://de.share-your-photo.com/img/007112f554.jpg
Wie auch immer, auf jeden Fall nochmal vielen Dank! :)
Es ist nicht das gleiche, aber ähnlich. Du hast beim Rechnen mit Längen unbewusst den Betrag der Abstände verwendet (egal, ob der Punkt oberhalb oder unterhalb des Geradenwerts liegt, ist der Abstand positiv). Ein Quadrat hat ja auch die Eigenschaft, dass das Vorzeichen keine Rolle spielt. Weil das Quadrat leichter abzuleiten ist als die Betragsfunktion, wurde es wohl dem Betrag vorgezogen.
Hinzu kommt, dass die quadratische "Gewichtung" ein eindeutiges Ergebnis liefert - z. B. im Fall eines Mittelwerts das arithmetische Mittel. Betragssummenminimierung liefert etwas wie den Median, und der ist nicht eindeutig bestimmt, sondern kann im allgemeinen beliebig aus einem Intervall gewählt werden.
@HochlandTibet, wenn du die Formel für die Regressionsgerade verwenden willst (ob aus einer Formelsammlung oder über den Taschenrechner), vergiss nicht, x und y zu vertauschen - die übliche Formel für die Regressionsgerade setzt voraus, dass die x-Werte exakt sind und die Varianzen der y-Werte konstant sind (für alle Wertepaare gleich sind).
Anmerkung: Mit gewichteten Mitteln kann man auch den Fall erfassen, dass die Varianzen der y-Werte nicht überall gleich sind.
Man kann auch eine Formel für den Fall herleiten, dass sowohl x- als auch y-Werte streuen, aber nur für den Fall, dass die Verhältnisse der Varianzen für alle Messpunkte gleich sind. Ansonsten muss man wieder auf numerische Näherung zurückgreifen.
..und ich möchte wissen, ob mein Ansatz komplett
falsch ist.
Nein, nicht komplett falsch, aber auch nicht komplett richtig.
Also wir sollten ein Federpendel aufbauen, verschiedene Massen dranhängen und die Periodendauer einer Schwingung per Hand messen, und daraus die Federkonstante bestimmen.
Den Graph sollten wir linearisieren, damit man eine Gerade legen kann, deshalb ist auf der x Achse T^2 anstatt T. Da quadrieren sich auch die Abweichungen und die Balken werden immer länger.
Es ändert sich der Messwert nicht mit der Zeit, aber die Periodendauer wird länger je mehr Massestücke man an die Feder hängt, das habe ich vergessen in der Frage zu sagen.
Ich wusste ja so schon nicht genau, wie ich mit einer Abweichung in der Zeit rechnen soll, deshalb wollte ich nicht noch bei der Masse Ungenauigkeit annehmen, eben weil dann solche Fehlerkreuze oder wie es heißt entstehen und ich nicht weiß, was ich damit machen soll.
Und das Ganze ist eine Ursprungsgerade, weil die Feder nicht schwingt, wenn keine Masse dranhängt, dachte ich.