Was genau ist hier gefragt?
1 Antwort
Es steht doch ziemlich klar in der Aufgabe: Du sollst herausfinden, ob die jeweilige Menge den R^n erzeugt.
I.E. du sollst prüfen, ob der kleinste Unterraum, der alle Vektoren der Menge beinhaltet, wirklich der R^n ist.
Beispiel 1: Die Menge A = {(0,0,1), (0,0,2), (0,1,0)} erzeugt nicht den R³, denn es lässt sich leicht zeigen, dass die Menge
ein Unterraum des R³ ist, der alle Elemente von A umfasst. Aber etwa der Vektor (1,0,0) liegt nicht darin, also ist er nicht gleich dem R³.
Beispiel 2: Die Menge B = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} hingegen erzeugt durchaus den R³: Ist v = (x,y,z) ein beliebiger Vektor, so schreiben wir:
Damit ist v eine endliche Linearkombination der Elemente von B, muss also im von B erzeugten Unterraum liegen. Da v beliebig war, liegt jeder Vektor des R³ im von B erzeugten Unterraum.
Bei a gibt es nicht 3 unabhängige vektoren
Stimmt
Bei b lässt sich durch gegenbeispiel(n=1) zeigen, dass es nicht geht
Ich würde zur Sicherheit für jede (positive) natürliche Zahl n zeigen, dass die Menge nicht den R^n erzeugt.
und c und d wegen ihrer vorschrift auch nicht.
Was heißt "Wegen ihrer Vorschrift"?
Stimmt es, dass es dann für keine der 4 teilmengen gilt?
Bei a gibt es nicht 3 unabhängige vektoren
Bei b lässt sich durch gegenbeispiel(n=1) zeigen, dass es nicht geht
und c und d wegen ihrer vorschrift auch nicht.