Warum steigt die Wahrscheinlichkeit Zahl zu werfen nach 1000 mal Kopf nicht?

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Odatas hat das bisher find ich am besten beschrieben,

ohne gewähr auf richtigkeit gebe ich meinen senf dazu:

wie wahrschenlichkeit 1000 mal nacheinander kopf zu werfen ist (0.5)^1000, aber der darauf folgende 1001 wurf hat wieder die wahrschenilichkeit 50:50 ob kopf oder zahl.

wie denkst du sonst kann man (0.5)^1000 rechnen, wenn es denn nicht immer 50:50 wäre?

das ist so: ein laplace-experiment(oder wie das auch wieder heißen mag), ist eines, bei dem jedes ereignis gleichwahrscheinlich vorkommt. beim münzwurf (vereinfacht, also keine kante als mögliches ergebnis) ist das der fall. damit ist die chance 50:50

nun verkettet man dieses laplace-experiment und erhält ein weiteres la-place experiment.

beispielsweise für 2 münzwürfe:

die ereignisse, die passieren können sind { (kopf,kopf) , (kopf,zahl), (zahl,kopf) , (zahl,zahl) }

das sind alle möglichen versuchsergebnisse... diese ereignisse haben auch wieder dieselbe wahrschenilichkeit, da wir ein laplace-experiment verkettet haben.

jedes versuchsergebnis hat demnach eine wahrscheinlichkeit von 25%, da es 4 ereignisse gibt.

bei 1000 würfen hat dann jedes ereignis (auch 1000 mal kopf) die wahrscheinlichkeit (0.5)^1000 (1000 einzelne experimente verkettet mit jeweils wahrscheinlichkeit 50:50)

der 1001 wurf bietet dann ergebnisse mit einer wahrscheinlichkeit von (0.5)^1001, und das eben deshalb, weil das zusätzliche werfen wieder eine wahrscheinlichkeit von 0.5 hat.

was ich nun dazu sagen möchte ist, dass sowohl 1000 kopf + 1 zahl und 1001 kopf gleich-wahrscheinlich sind... aber auch 100 kopf + 901 zahl und alle anderen auch. der punkt ist dass wir uns bei 1001 wild durcheinander geworfenen ereignissen nicht merken können oder nicht auf einmal erfassen können, was eigentlich passiert ist, aber falls es 1000 mal kopf war, dann können wir das doch ! deswegen reden wir menschen uns sein, dass dies etwas besonderes sei, weil es uns aufgefallen ist. in der tat ist es aber genau so gewöhnlich wie abwechselnd kopf und zahl zu werfen oder andere ereignisse.

der 1001 wurf hat chance 50:50

nun zum deinem gesetz der großen zahlen, welches du beschrieben hast.

unendlich ist keine zahl, sondern eher eine situation, die nicht erreicht werden kann.

dennoch können wir aussagen darüber treffen, wenn wir etwas unendlich oft machen.

warum sich das verhöltnis der geworfenen ergebnisse der wahrscheinlichkeit annähert weiß ich nicht, aber das gilt nur für die unendlichkeit, also für einen unerreichbaren zustand. wir können dadurch nur aussagen, dass etwas sich annähert, aber nicht wann es wie stark angenähert hat.

anschauung zur unendlichkeit:

zu jeder reellen zahl in der mathematik gibt es eine natürliche zahl, welche größer ist. mit anderen worte, keine zahl ist die größte zahl.

nun selbst wenn du 100000000 mal kopf geworfen hast, bleiben noch (weil keine zahl die größte ist) 1000000000 weitere ergebnisse um den annäherungsprozess voranzuschreiten und danach nochmal 100000000 würfe, und dann wieder.. und dann wieder... und dann wieder.....

man spricht in der mathematik von "fast alle", wenn man meint; "alle außer endlich viele ausnahmen". der annäherungsprozess ist "vollendet" wenn fast alle zahlen beliebig nahe am wert, der angenähert wird, sind.

streng mathematisch formuliert:

für alle epsilon>0 (griechischer buchstabe) gibt es hier einen münzwurf, ab dem für alle weiteren (das davor waren die endlich vielen ausnahmen) das verhältnis der ergebnisse nur um epsilon von der wahrscheinlichkeit abweicht. epsilon wird dabei beliebig klein(da gilt: "für alle epsilon...", also auch beliebig kleine)

nun jede zahl, die es gibt ist endlich, denn unendlich ist keine zahl, damit hast du das gesetz der großen zahlen erst dann widerlegt, wenn du unendlich oft eine münze geworfen hast, alles was im endlichen rahmen ist, zählt als "endlich viele ausnahmen".

die wahrscheinclihkeit wird eben nicht in einer bestimmten geschwindigkeit angenähert... man kann dies nicht berechnen, es ist ja zufall!. aber das verhältnis nähert sich früher oder später der wahrscheinlichkeit an, und das obwohl die chance immer 50:50 beträgt.

Danke für die Schmeichelein. Und eine Erklärung finde ich sehr gut. Dafür gibs nen Daumen hoch :)

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Na dann schmeiss dir doch mal Excel (oder wenn du programmieren kannst, auch irgend eine entsprechende Programmierumgebung), generier die einen Batzen Zufallszahlen (du brauchst ja nur zu prüfen, ob die Zufallszahl im Bereich 0<=x<=1 größer oder kleiner als 0,5 ist, um einen Münzwurf zu simulieren) und versuch, deine Aussage zu beweisen, falls du den Leuten hier nicht glaubst. Mathematische Erklärungen hast du ja schon genug bekommen.

Excel wurde auch nur von Menschen programmiert, die eben nur die aktuellen mathematischen Gesetze berücksichtigt haben. Das bringt mir also nichts, da ich ja weiß, dass es in der Mathematik als 0,5 gesehen wird.

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@Caimer

Ja, die aktuellen mathematischen Gesetze werden berücksichtigt,und die sollten auch für dich gelten. Excel erzeugt eine Reihe gleichverteilter Zufallszahlen, womit du einen idealen Münzwurf mehrere Millionen Male simulieren könntest. Und wenn du das ein paar mal wiederholst, dann sollte sich der von dir erwartete Effekt einstellen, wenn er denn existieren würde... Gesetz der großen Zahlen nennt man das. Und im dazugehörigen Wiki-Artikel ist deine Aussage sogar am Beispiel Münzwurf widerlegt http://de.wikipedia.org/wiki/Gesetz_der_gro%C3%9Fen_Zahlen#Beispiel:_Wurf_einer_M.C3.BCnze

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@ceevee

Das Wikipedia Beispiel ist schon eher hilfreich, danke.

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Physikalisch gesehen gibt's sowas wie Wahrscheinlichkeit nicht weil dass Ergebnis des Wurfs sich errechnen lässt.. :-) dein Ergebnis ist schon vorbestimmt seit dem du geboren wurdest aber das geht jetzt in Astrophysik :-) mathematisch gesehen wird deine Münzen sich nicht dem Ergebnis des 0,5 anpassen ^^

Due hast eindeutig den Spielerfehlschluss. Das ist ein Denkfehler... siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Spielerfehlschluss. Zum Unendlichkeitsbegriff (inf): inf/2 = inf und inf/x (x element IR* also ohne Null). Was bedeutet das? Ganz einfach, du kannst von unendlich niemals die Mitte erreichen ;), ergo du hasst weiterhin genau so viele versuche wie vorher, nämlich unendlich :-D. Also rein theoretisch, wenn du beim 10000000 Versuch immer nur Kopf geworfen hast (theoretisch möglich) dann kann der nächste Wurf immer noch mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/2 Kopf sein, und wenn du unendlich Versuche hast, dann widerspricht das nicht der Theorie. Was Odata sagt ist natürlich nur in Folge, dann werden diese Multipliziert... aber wir wollen ja keine würfe in Folge, sondern nur den nächsten Wurf betrachten!

Du hast ganz eindeutig eine unpassende Auffassung des Begriffs "unendlich". Das ist ein reines Gedankenspiel der Mathematik. Wenn du 100000000 Jahre lang eine Münze immerwieder wirfst, wird höchstwahrscheinlich nicht der Wert 50/50 herauskommen. Jeder Wurf (lässt man dich und Umweltgegebenheiten als Störfaktor mal aus) hat lediglich die Chance 50/50. In Verbindung mit dem Ausdruck(nicht der Zahl) "unendlich" trifft es aber zu. Es wäre genauso oft Kopf geworfen worden wie Zahl, wobei ich diesen Satz in einer Vergangenheitsform formuliert habe, was in Verbindung mit "unendlich" ja nicht möglich ist, da der Versuch selbst auch kein Ende finden würde, falls dir das beim Verständnis hilft. Es ist folglich völlig egal, was das Ergebnis der vorigen Versuche war, der 1001. Versuch wird davon nicht beeinflusst. Desweiteren nähert sich der Wert der 50/50 so oder so. 10/0 ist in dem Sinne näher an 50/50 als 0/0.

10/90 sorry

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Ok gut, mit dem Begriff "Unendlich" hast du recht. Aber hier noch ein Gedanke: Wenn man sich durchgeführte Wurffolgen anschaut, entdeckt man, dass z.B. 2 mal hintereinander Kopf oft vorkommt, 7 mal hintereinander Kopf seltener und 14 mal hintereinander Kopf sogut wie gar nicht. Außerdem erkennt man auch, dass nach 14 mal Kopf, die nächsten 14 Würfe nicht aus 7 mal Kopf und 7 mal Zahl bestehen, oder immer zu einem von beidem tendieren, sondern eher öfter Zahl in diesen 14 nächsten Würfen kommt. Und das finde ich durch die Annäherung auch logisch. Ich habe das so aus unseren Testwürfen im Unterricht in Erinnerung und natürlich haben wir nicht oft genug geworfen aber du weißt ja was ich damit meine. Ist es dann nach 1000 mal Kopf nicht Wahrscheinlicher danach öfter eine Zahl zu bekommen?

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@Caimer

Wenn man das am Ende runterrechnet bleibt die Wahrscheinlichkeit bei 50/50

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@Caimer

Theoretisch ist es sogar möglich, dass die Münze, wenn du jetzt anfängst und bis an dein Lebensende wirfst, immer auf der Zahl liegenbleibt. Praktisch ist es auch möglich. Die Chance besteht, wennauch unwahrscheinlich wie sonstwas. Letztendlich ist aber jeder Versuch ein ganz individueller. Er wird nicht durch den vorherigen, wann auch immer er stattgefunden haben mag, beeinflusst. Und die Statistik, die ihr im Unterricht erstellt habt, kann bei einer weiteren Versuchsreihe, je nach dem wie lang sie ist, variieren, denn die Statistik hat sich aus einer(in der Theorie) völligen Chancengleichheit herausgebildet.

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@Msider

Damit der letzte Satz nicht missverstanden wird : Im Sinne der Versuchsreihe sind die Ergebnisse aus dem Unterricht, egal wie lang sie gewesen sein mag, natürlich vorhersehbar zutreffend, siehe Odatas. Doch in der Realität zählt jeder Wurf als ein individueller.

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@Caimer

Hallo, dieses Problem ist nicht so ganz einfach zu begreifen. Es ist vermutlich richtig, dass du bei einer endlichen Versuchsreihe öfter eine Folge von genau 2 mal Kopf zu kriegen als eine Folge von genau 7 mal Kopf. Aber du vergleichst hier Äpfel mit Bananen. Beim ersten mal begutachtest du nur eine Folge von 2 Würfen und beim zweiten eine Folge von 7. Betrachtet man mal nur die Folgen von 7 Würfen, dann sieht man schnell, dass eine Folge von 7 Köpfen in etwa genausooft vorkommt wie die Folge 4xKopf + 3xZahl in dieser Reihenfolge. Die Folge 7 Köpfe kommt nur deshalb seltener vor als die Folge 2 Köpfe, weil die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten 2 Würfe-Ereignisses bei 0,5^2 liegt und die eines bestimmten 7-Würfe-Ereignisses nur bei 0,5^7.

Genauso muss man auch das Problem behandeln, dass du in der Fragestellung aufwirfst. Die Folge 1000 Köpfe ist an sich nicht sonderlich wahrscheinlich, aber das beeinflusst nicht den nächsten Wurf. Jede bestimmte Folge von 1001 Würfen hat die Wahrscheinlichkeit 0,5^1001. Also ist auch die Wahrscheinlichkeit von 1001 Köpfen gleich der Wahrscheinlichkeit 1000xKopf+1xZahl.

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@Melvissimo

Äpfel und Bananen :D Das war mir wirklich nicht klar, wieder etwas dazugelernt, danke :)

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