kommt auf die anwendung an. beim integrieren über eine kreisfläche ist das oft nützlich.

beispiel: sei K die menge aller punkte, die zu einem kreis gehören (mir egal welcher, irgendeiner), dann kann man seine fläche berechnen mittels des mehrdimensionalen integrals "integral über K von 1 dx", wobei 1 der integrand ist und x ein vektor x=(x1,x2) ist. in polarkoordinaten ist dies am einfachsten. falls du dich damit nicht auskennst, dann stell dir das als mehrdimensionales analogon zur integration durch substitution vor. das ist eine geschickte substitution, weil dabei die "gebogenen" grenzen des integrals "geradlinig" werden. das erlaubt es sehr einfach über ein "quadrat" zu integrieren, was man leicht durch hintereinander-ausführen von eindimensionalen integrationen über strecken machen kann. und eben diese eindimensionalen integrationen über strecken sind das grundlegendste überhaupt. das lernt man ja sogar schon in der schule.

beispiel: seien a+ib und c+id komplexe zahlen, dann ist ihr produkt (a+ib)(c+id) besonders leicht ermittelbar, wenn man zu beiden zahlen die polarform kennt. diese ist für eine komplexe zahl (a+ib) in der zahlenebene, welche in polarkoordinaten einen radius r und einen winkel phi hat gerade r e^(i phi). mit potenzgesetzen addieren sich demnach die winkel der beiden komplexen zahlen. einfacher kann man das produkt nicht ausrechnen.

in keinem dieser beispiele war es notwendig die polarkoordinaten auszunutzen. es mag sogar spezielle situationen geben, in denen man vermutet, dass es mit diesen leichter vorangeht, aber in wahrheit mit kartesischen koordinaten schneller ans ziel käme. das kann man im voraus nicht wissen. in vielen anwendungen haben sich diese koordinaten aber als sehr nützlich herausgestellt und werden auch häufig verwendet.

warum sollte da denn ein minus stehen? die formel stimmt. wenn du das nachdifferenzieren nicht vergisst, so kommt beim ableiten der stammfunktion durch den exponenten -2 und durch das -x der inneren funktion jeweils ein minus zustande. insgesamt also ein plus, genau wie bei deinem f(x).

tatsächlich kommt das darauf an, wie man die situation modelliert.

man kann nur ein paar an eissorten ohne beachtung der reihenfolge modellieren oder auch zwischen der ersten und zweiten wahl unterscheiden. letzteres ist ein laplace experiment, ersteres nicht.

hat der eisverkäuger keine präferenzen und wählt demnach gleichwahrscheinlich eine sorte aus, so ist das auswählen einer einzelnen sorte ein laplace-experiment. das auswählen von 2 sorten kann dann auf offensichtliche "kanonische" (einfach ignorieren, wenn der begriff dir nichts sagt) weise als hintereinanderausführung zweier unabhängiger zufälle beschrieben werden. (die unabhängigkeitsannahme ist dabei plausibel, aber eine annahme!)

im allgemeinen müssen hintereinanderausgeführte zufallsexperimente nichts miteinander zu tun haben, z.B. kann der erste versuch ein münzwurf sein, der zweite ein würfelwurf. dann bildet man "listen" (mathematischer ausdruck: tupel) von allen kombinationen von ereignissen , z.B. (kopf, 1) oder (zahl, 6).

bei 2 münzwürfen (also identische experimente) wären unter den tupel dann sowohl (zahl, kopf) als auch (kopf, zahl). das wäre immernoch ein laplace-experiment.

in dem moment, in dem man das modell nicht aus einzelnen experimenten zusammenfässt, sondern das gesamte experiment an sich betrachtet, könnte sich etwas ändern. z.B. wählt der eisverkäufer ohne, dass man es sehen kann, 2 eissorten aus. die beschreibung als 2 einzelne experimente ist damit nicht möglich, da man die einzelnen beiden schritte nicht kennt. damit wäre (schokolade, vanille) und (vanille, schokolade) identisch. dann hat man kein laplace-experiment mehr.

am beispiel des münzwurfs:

mögliche tupel mit beachtung der reihenfolge:

(zahl,zahl), (zahl, kopf), (kopf,zahl), (kopf,kopf)

jeder wurf hat für jedes ergebnis wahrschienlichkeit 1/2, also jeder tupel wahrschienlichkeit 1/4. alle ergebnisse sind gleichwahrscheinlich, also liegt ien laplace-experiment vor.

mögliche tupel ohne beachtung der reihenfolge:

(zahl, zahl), (zahl, kopf), (kopf, kopf), wobei (zahl,kopf)=(kopf,zahl), also einer beider tupel zur modellierung genügt.

leicht rechnet man nach, dass die reihenfolge aber sehr wohl bei der wahrscheinlichkeit eine rolle spielt. betrachte (zahl, kopf):

der erste wurf ist beliebig, nur der zweite muss dann das gegenteil sein, also ein bestimmtes ergebnis. folglich wird auch nur eine der wahrscheinlichkeiten von 1/2 verwendet. die wahrscheinlichkeit ist also 1/2.

bei den anderen ergebnisse ist die wahrschienlichkeit wieder 1/4.

insgesamt sind die wahrscheinlichkeiten der elementarereignisse nicht identisch, demnach liegt kein laplace-experiment vor.

MERKE:

es kommt immer auf die modellierung an! und diese hat man mehr oder weniger selbst in der hand. man sollte immer die einfachste/zweckmäßigste möglichkeit wählen das experiment zu modellieren.

die sinnvollen aufgaben sind a) und d).

a) ist wahr, d) ist falsch.

die anderen aufgaben sind wohl nur deshalb da, dass man anhand der aufgabenstellung nicht bereits die lösung erahnen kann durch geschicktes verwirren.

b) sollte man vorsichtiger so formulieren:

Es gibt eine Menge[, sodass gilt:] X Teilmenge von P(X). das "mit" war nur verkürzt, wie z.B. es gibt eine zahl mit x^2=2 heißt ja auch, dass es eine zahl gibt, sodass x^2=2 gelöst wird.

nun gibt es noch eine weitere ungenauigkeit, welche auch wirklich nicht beim ersten lesen auffällt, aber grundsätzlich die aufgabe verfälscht.

gemeint ist z.B. bei a)

X ist teilmenge von X => X erfüllt die bedingung um zu P(X) zu gehören. demnach ist X "in" P(X). a) ist also wahr. das war nur eine kurze unausführliche beweisskizze. je nach stoff, der durchgenommen wurde, muss das entsprechend den grundlagen angepasst werden oder aber auch übernommen werden, falls schon genug stoff behandelt wurde.

ich habe absichtlich "in" in anführungszeichen geschrieben.

denn was beudetet eigentlich "in" ?? was man meinte ist: "element von"/"enthalten in", jedoch NICHT teilmenge von.

X ist eine menge, P(X) besteht aus allen teilmengen, ist also eine menge mit mengen-wertigen elementen. demnach ist X (eine menge) gewiss keine teilmenge, sondern höchstens ein element der mengen-wertigen menge P(X).

wenn man unbedingt von teilmengen sprechen möchte, so muss es schon eine mengen-wertige menge sein, welche man untersucht. demnach wär {X} eine teilmenge von P(X).

noch absurder ist der gedanke, dass P(X) teilmenge von X ist. da meint man ebenso eher P(X) teilmenge von {X}. hier kann man nichtmal mehr von "elementen" sprechen. nur die darstellung mittels {X} ist richtig.

NUN, da alle ungenauigkeiten eliminiert wurden, kann man endlich anfangen die aufgabe zu lösen.

a) siehe oben,

b) folgt aus a), da a) wahr war.

c) wird aus d) folgen, weil d) falsch sein wird.

d) ist falsch, denn: damit dies stimmt dürfte P(X) außer {X}, welches immer enthalten ist (siehe a)) kein weiteres element mehr enthalten. allerdings ist die leere menge {} immer teilmenge einer menge, also auch in P(X) enthalten. demnach gibt es ein element in P(X) was (zwar teilmenge von, aber ) nicht element von {X} ist.

ich weiß ja nicht, wo die aufgabe her ist.. auch wenn man meinermeinung nach problemlos versteht, was eigentlich gemeint ist, ist die aufgabenstellung trotzdem völliger blödsinn. ich hoffe ich konnte dir trotzdem weiterhelfen.

wie möchte man denn A=>B widerlegen? kann man dies nicht widerlegen, so ist es wahr. nun ist es aber nicht widerlegbar, falls A falsch ist, weil der fall, dass A gilt nie eintritt und die folgerung, dass dann auch B gilt, nicht eintreten muss. (aber sehr wohl kann trotzdem B wahr sein)

am besten ein beispiel:

ich beweise nun, dass wurzel(4)=2 UND wurzel(4)=-2.

das mache ich, indem ich 4 als quadrat darstelle:

wurzel(4)=wurzel(2*2)=2.

andererseits wurzel(4)=wurzel((-2)*(-2))=-2.

wo ist der fehler? ich habe zugelassen, dass die wurzel funktion auch für negative zahlen die umkehrfunktion zur parabel ist, was aber eigentlich nur für den positiven parabel-ast zugelassen ist.

A sei nun die aussage "negative zahlen unter wurzel() sind erlaubt". dies ist FALSCH. aber ich kann daraus sowohl etwas richtiges als auch etwas falsches folgern. jede folgerung an sich ist richtig, falls A wahr war.

bei falschen voraussetzungen ist somit immer die beziehung "A=>B" richtig, nicht zu verwechseln mit der gefolgerten aussage B, welche nicht stimmen muss.

bei logischen formeln geht es nicht immer um korrektheit im echten leben, sondern nur um korrekte schlussfolgerungen.

außerdem ist dies die einzige möglichkeit, wie <= und => gleichzeitig auf die äquivalenz <=> führen können. dies wiederum ist anschaulich klar, dass äquivalenz bedeutet: (A und B) wahr, (nicht A und nicht B) wahr, sonst falsch. da aber A<=>B auch (A=>B und B=>A) ist, bleibt für die fälle, die dir unklar sind, keine andere möglichkeit, als wahr zu sein.

es ist genauso wahrschienlich unendlich mal 6 zu würfel wie unendlich mal 1 zu würfeln. warum sollte die 6 besonders sein? es ist ebenso genauso wahrscheinlich 123456123456...... zu würfeln.

all diese einzelnen einzigartigen ereignisse haben quasi wahrschienlichkeit 0. rein "formal" wäre die wahrscheinlichkeit dann ja 1/6*1/6*1/6*..... und das geht gegen 0.

das bedeutet nicht, dass es unmöglich ist. genauso bedeutet wahrscheinlichkeit 1 nicht, dass es sicher eintritt. in vielen "anschaulichen" beispielen ist wahrscheinlichkeit 1 tatsächlich ein sicheres eintreten. es gibt aber auch andere beispiele.

eines ist die körpergröße. es gibt unendlich viele mögliche körpergrößen. jede hat irgendeine wahrschienlichkeit. nehmen wir an, dass die größen gleichverteilt sind. mir ist bewusst, dass dies nicht der fall ist, aber andernfalls wird es zu mathematisch und unverständlich für die meisten hier (stichwort: maßtheorie->nullmenge).

"anschaulich" ist dann die wahrscheinlichkeit einer größe 1/(anzahl aller größen)=0. das problem ist, dass unendlich*0 alles mögliche ergeben kann. es gibt unendlich viele größen, also müssen die einzelnen wahrscheinlichkeiten auch gegen 0 streben, sonst kommt man nicht am ende wieder bei 1 heraus, wenn man die wahrscheinlichkeit für das "sichere ereignis" ausrechnen möchte, also dieses, welches per definition wahrscheinlichkeit 1 hat und tatsächlich immer eintritt. im detail: "das ereignis, dass man einfach irgendeine beliebige größe hat". jeder hat irgendeine größe!

jede einzelne einzigartige größe hat jedoch wahrscheinlichkeit 0. entsprechen hat auch das ereignis "beliebige größe ausgenommen 1 meter" die wahrschienlichkeit 1, ist aber nicht mehr sicher, sondern "fast sicher". das ist tatsächlich ein mathematischer fachbegriff!

nun zurück zur schreibmaschine! bei unendlich vielen zeichen aber nur endlich vielen zeichen in der gesamten welt-literatur ist offensichtlich mehr als genug platz um die bücher zu einem beliebigen zeitpunkt zu schreiben.

es ist also nicht danach gefragt, ob man 66666666.. würfelt, 123123123123123.. würfelt, oder sonst eine regelmäßige unendlich lang erstreckende sache. all dies hätte wahrschienlichkeit 0. (könnte dennoch eintreten)

es ist vielmehr die frage nach der folge 123 innerhalb des restes, also zB:

6661266666.....oder 126666666....... oder 6666666666666666666666666666666666666666666666126............ oder 28937649287364502873645089276412......(am ende vor dem punkt ist die 12).

es gibt UNENDLICH viele möglichkeiten diese ziffernfolge zu schreiben. demnach hat man nicht ein einziges ereignis dividiert durch "unendlich", was 0 ergibt, sondern UNENDLICH viele ereignisse dividiert durch unendlich, was in diesem fall nach dem infinite monkey theorem 1 ergibt.

im allgemeinen ist unendlich/unendlich natürlich nicht definiert und kann alles mögliche ergeben, aber in der wahrsscheinlichkeitstheorie gibt es wohl nur 0 und 1 in solchen fällen. "fast nie" und "fast sicher".

beides beudetet weder, dass es nie eintritt, noch dass es immer eintritt. es bedeutet wirklich nur "mit wahrscheinlichkeit 0" oder "wahrschienlichkeit 1".

noch eine bemerkung, warum noch kaum jemand gemerkt hat, warum wahrschinlichkeit 0 und 1 nicht das bedeutet, was man dachte:

bei beispielen mit endlich vielen zuständen bedeutet wahrscheinlichkeit 0 tatsächlich "nie" und wahrscheinlichkeit 1 tatsächlich "immer". bei unendlich gilt dies nicht mehr!

tatsächlich wäre auch der von dir angegebene wahrscheinlichkeitsraum möglich. zu einem "wahrschienlichkeitsraum" gehören streng genommen noch 2 weitere dinge als die menge aller elementarereignisse. das eine werde ich nicht nennen, es würde nur verwirren. das andere ist das wahrscheinlichkeitsmaß.

in deinem Omega sind 21 elementarereignisse. diese reichen auch völlig aus um die frage nach einem "pasch" eindeutig beantworten zu können. allerdings verkomplizierst du dabei dein wahrscheinlichkeitsmaß.

wie hoch ist denn die wahrscheinlichkeit {1,1} zu würfeln (einen 1er pasch) ?

wie hoch ist denn die wahrscheinlichkeit {1,2} zu würfeln? (ungeachtet der reihenfolge)

kennst du das spiel "die siedler von catan"? da sind die zahlen 6,8 meistens farbig hervorgehoben und die 7 hat gar eine spezielle rolle. das liegt daran, dass die augensumme von diesen zahlen wahrscheinlicher ist. das liegt daran, dass es mehrere möglichkeiten gibt die 7 als summe zu bekommen. viel mehr möglichkeiten als es für die summen 2 oder 12 gibt.

hier ist es genauso. es gibt mehrere möglichkeiten {1,2} zu würfeln. die beiden würfel beeinflussen sich nicht gegenseitig. es kann der erste würfel 1 geben, der zweite 2 ODER umgekehrt. das ist eine möglichkeit mehr als für {1,1} möglich ist, da das vertauschen der reihenfolge kein neues ereignis ergibt.

berechnen wir einmal die wahrscheinlichkeit für ein paar ereignisse:

P({1,1})=1/6*1/6, da jeder würfel nur 1 bestimmte von 6 zahlen zeigen darf.

für unterschiedliche a,b von 1 bis 6 gilt:

P({a,b})=1/6*1/6+1/6*1/6, weil entweder der erste würfel "a" zeigt, der andere "b" zeigt oder umgekehrt. in beiden fällen hat jeder würfel nur genau 1 möglichkeit. wir bekommen also die doppelte wahrscheinlichkeit.

ein kurzer test:

6 päsche und 15 nicht-päsche haben also zusammen die wahrscheinlichkeiten 6mal 1/36 und 15mal 2/36 ist zusammen 36/36=1. macht sinn.

wie haben wir die wahrscheinlichkeiten eigentlich im detail ausgerechnet??? wir haben uns das überlegt aus der annahme, dass jede zahl je würfel gleichwahrscheinlich ist. stichwort: "laplace experiment".

für den wurf zweier würfel auf einmal haben wir so in einem ereignisraum ohne beachtung der reihenfolge ein wahrscheinlichkeitsmaß berechnet, welches jedoch NICHT für jedes elementarereignis dieselbe wahrscheinlichkeit berechnet.

was dein lehrer wollte ist:

die überlegung vom laplace-experiment eines einzelnen würfels auf zwei würfel zu übertragen. er beachtet demnach die reihenfolge, weil er die zuordnung der zahlen zu den jeweiligen würfeln braucht, weil er die jeweiligen würfel braucht um das "laplace-experiment" ausnutzen zu können.

dann hat er MIT reihenfolge 36 elementarereignisse, dafür aber ein sehr einfaches wahrscheinlichkeits maß. jedes elementarereignis habe einfach die wahrschienlichkeit 1/36, da ja alle elementarereignisse als gleich VORAUSGESETZT wurden.

daher kommt dann auch die formel P(A)=|A| / |Omega|, weil bei einem Laplace-experiment durch einfaches zählen der möglichkeiten um A zu erfüllen dividiert durch die gesamtzahl an möglichen elementarereignissen die wahrscheinlichkeit gegeben ist.

Um eben diese einfach formel nutzen zu können, lohnt es sich oftmals den raum Omega größer als nötig zu wählen.

dennoch war auch dein Omega zielführend, solange du dein wahrschienlichkeitsmaßs P richtig wählst. wie du siehst musste ich mir das mit produkten 1/6*1/6 etc... überlegen. dabei habe ich die beiden würfel eigentlich auch aufgeteilt in einzelne würfe, so wie dein lehrer. dies hat sich aber im P wiedergespiegelt statt im Omega.

hier gibt es noch ein paar kleine unklarheiten:

-a ist vom wert her identisch zu -(+a), aber das ist NICHT, wie "-a" definiert ist. eigentlich gibt es nur das "+". das "-" ist zunächst nur dazu da um die "gegenzahl" darzustellen.

die gegenzahl (hier b genannt) zu a ist diejenige zahl, für die gilt:  a+b=b+a=0. um den zusammenhang zum a darzustellen schreibt man meist "-a" dafür. (bei * wäre das dann beispielsweise 1/a und heißt kehrwert. ALLGEMEIN: "inverses element")

nun kann man also rechnen a + (-a) = 0. mit dem gedanken im kopf "+ (-a)" macht etwas kleiner, weil man üblicherweise nur an positive zahlen denkt, hat man sich ein "-" rechenzeichen definiert: a-b = "a + (-b)".

dieses minus-rechenzeichen steht also für das addieren einer gegenzahl.

demnach ist a-b = a + (-b) (weil zu beginn nur "+" und gegenzahlen vorhanden waren)

man kann dann im NACHINEIN zeigen, dass dies dasselbe ist wie a-(+b), aber dies erklärt in keiner weise die bedeutung vom "-". ein "vorzeichen +" hat es eigentlich nie gegeben. nur das "+" rechenzeichen UND das "-" vorzeichen um gegenzahlen darzustellen. deshalb gibt es quasi "nie" ein vorangestelltes +, aber oft ein minus-zeichen (weil es ogt gegenzahlen gibt und man in der notation das in das "-" rechenzeichen umschreibt)

demnach ist es kontraproduktiv zu schreiben:

a-b = (+a)-(+b).

das ist zwar vom wert her korrekt, hat aber nichts mit den bedeutungen der zeichen zu tun.

WEITERHIN:

-a ist keine negative zahl!!! falls a=-1 ist, dann ist -a=1, also positiv. viele leute meinen "+" heißt positiv und "-" heißt negativ, aber es gilt nur "0>a" bedeutet a ist negativ und "0<a" bedeutet a ist positiv. das vorzeichen hat nur rein zufällig bei konkreten zahlen wie -1 oder 1 die bedeutung der negativität/positivität, weil immer "a + (-a) = 0", also für positive zahlen die geganzahlen negativ sind. und man immer in positiven zahlen denkt, und auch nur namen für positive zahlen erfunden hat. die negativen werden dann mit vorzeichen "-" dargestellt.

für "unbekannte" zahlen, wie "a" ohne weitere angaben, ist "-a" nichts weiter als die gegenzahl. das vorzeichen hat nichts mit dem wertebereich der zahl a zu tun.

all dies kann man auf * übertragen mit der definition der inversen elemente als:

a*1/a = 1

es gibt nur + und *, allere andere sind darstellungen der inversen elemente (gegenzahl bei + und kehrwert bei *). wie bei "+" gilt hier dann

a/b = a * 1/b.

aller verläuft analog. analog zu "positve zahl" und "negative zahl" könnte man hier definieren: "|a|>1" heißt streckende zahl, "|a|<1" heißt stauchende zahl. das wird so aber nie genannt, deshalb wird rechenoperation und "vorzeichen" auch nie verwechselt. wer hält schon "1/b" für ein vorzeichen?

das erklärt vielleicht, warum man immer probleme mit +,- hat, aber normalerweise nicht mit *,/.

MERKE:

es gibt nur + und * als rechenzeichen, alles andere ist eine darstellung der inversen zahl und verkürzt wird geschrieben:

a rechenzeichen (inverses b) = a (inverses rechenzeichen) b

ja,

das liegt daran, dass immer mehr ungeeignete studienanwärter durch viel zu einfache schulsysteme trotzdem zugelassen werden. demnach "müssen" sie nicht eine ausbildung machen, möchten es also auch nicht, wegen gründen, die bereits andere genannt haben. zB möchte man sich die hände auf dem bau nicht schmutzig machen.

was in früheren generationen einen realschulabschluss forderte verlangt heute schon abitur, und dennoch können die jungen leute heute weniger als die alten leute von damals.

schule muss schwerer werden. leute müssen an verschiedenen schulen angemessen unterrichtet werden. heute wird unter dem deckmantel der "besseren" bildung von politikern nur auf die wiederwahl hingearbeitet.

es wäre GUT, wenn wieder weniger schüler auf das gymnasium kommen. es wäre GUT, wenn die schlechteren schüler in einer weniger anspruchsvolle schule kommen. das ist notwendig, damit den verschiedenen ausbildungsgraden bedeutung zugemessen wird. es ist NICHT degradierend für die schüler auf weniger anspruchsvollen schulen. es ist eine notwendige und sinnvolle klassifizierung.

so behält man auch mehr von dem, was man gelernt hat. abiturienten heutzutage können nicht mal simpelste mathematische gesetzt und schreiben sich TROTZDEM für das mathematik-studium ein. ich weiß das aus erfahrung. bin knapp über 4 jahre lang übungsleiter gewesen im mathematikstudium und ich hab JEDES JAHR gesehen, wie immer mehr leute im 1. semester abkamen, jedoch niemals signifikant mehr leute als im vorjahr den bachelorabschluss geschafft haben.

jetzt habe ich mich genug aufgeregt.

fazit: schule ist zu einfach und studium klingt attraktiv => mehr studenten.

meines wissens nach gibt es keine "schlaue" matlab funktion fürs ableiten. ich kann dir auch erklären warum ich das sinnvoll finde.

matlab kann NICHT integrieren oder ableiten, sondern beides nur numerisch approximieren. du kannstmit matlab ja auch nicht die stammfunktion bilden (ungefähr das umgekehrte zum ableiten). jedoch ist die "flächenbilanz" (so hieß das glaube ich in der schule) ja keine funktion, sondern nur eine approximation an die flächen, die der graph mit der x-achse einschließt. das ist also eher wenig information. die stammfunktion, mit der du selbstverständlich auch an den integral-wert kommst, ist sehr viel information. das wirst du numerisch nicht gut hinbekommen. das muss man annähern. ebenso muss man die ableitung annähern.

warum ist das annähern dieser speziellen funktionen (stammfunktion, ableitungsfunktion) so schwierig?

zur approximation müssen meist mehrere informationen der eigentlichen funktion benutzt werden, z.B. 2 stützstellen der funktion um die sekantensteigung zu berechnen, welche die ableitung approximiert. dann hat aber der linke endpunkt deines intervalls nur einen rechten nachbarn, der rechte endpunkt deines intervalls nur einen linken nachbarn. man kann also schonmal nicht denselben differenzenquotient für alle punkte, an denen die ableitung gesucht ist, berechnen, außer du hast unendlich lange intervalle.

es gibt viele verschiedene methoden die ableitung zu approximieren, und es ist nie klar ob diese methode für dein spezielles problem angemessen ist.

weiterhin ist ableiten numerisch sehr schwer, da man eine kleine zahl (im nenner, differenz zweier ähnlich-großer funktionswerte, f(x)-f(x0)) durch eine kleine zahl (abstand der stützstellen, x-x0) teilt. dabei kann einiges schief gehen. stichwort: auslöschung.

dagegen ist beim integrieren (nicht stammfunktion bilden) die theorie sehr gut und numerisch gut umsetzbar.

bei den komplizierteren aufgaben muss man eben problem-angepasst programmieren. es ist wohl nicht möglich eine "schlaue" ableitungsfunktion zu programmieren.

dennoch gibt es "einfache" möglichkeiten, die den meisten nutzern schon genügen würden:

du musst nur etwas in der art machen:

angenommen du hast einen vektor mit den stützstellen, zB X=[0:0.1:1] und einen weitere vektor mit den zugehörigen funktionswerten, zB F=[1:-0.1:0], das ergäbe die funktion f(x)=-x+1 auf dem intervall [0,1]. dann bildest du den differenzenquotient mit hilfe von diff:

diff(F)/diff(X)

dabei macht diff die differenzen aufeinanderfolgender elemente, also diff([0,1,2]) = [1,1].

beachte, dass hierbei, da die 2 keinen rechten nachbarn mehr hat, das ergebnis eins kürzer ist als das argument.

mit obigen X und F ergäbe das näherungsweise die ableitung (ist -1, hier sogar exakt, weil die funktion nur linear ist)  auf dem intervallk [0.1,1]. die 0 fehlt, da sie mit dem nachbarn 0.1 zusammen nur einen datenpunkt für die ableitung liefert.

wenn du nun funktionen hast mit handles, dann hast du kein beschränktes intervall, kannst also immer den rechten nachbarn finden. allerdings kannst du keinen unendlich langen vektor aufbauen! du kannst das dann nur stückweise und damit leider auch erstmal mit einer for-schleife, solange dir nichts klügeres einfällt um die ableitung für alle gewählten stücke zu berechnen. dies ist in matlab sehr langsam, wohl ein weiterer grund warum keine "schlaue" ableitungsfunktion existiert. es gibt einfach probleme mit dem unendlich langen intervall.

die grundlegende formel für dich ist dann

(f(x)-f(x-dx))/dx,

wobei x ein punkt ist, dx ein abstand zum (hier) linken nachbarn (so wird die ableitung am punkt x mit rückwärts-gerichtetem differenzenquotienten approximiert, was standard ist).

wenn du das vektorisiert machen möchtest, also nicht für jeden punkt einzeln, dann muss deine funktion definiert sein, sodass sie mit vektor-eingaben klar kommt, zB f=@(x) x.^2 wäre x^2 mit komponentenweisem ^. dann ist f([0,2]) = [0,4] wieder ein vektor mit den entsprechenden ergebnissen. dann kann man wieder mit diff arbeiten:

diff(f([...])./diff([...]), wobei natürlich beide male das [...] derselbe vektor sein soll. dann hast du aber wieder auf einem beschränkten intervall die ableitung, also auf einer menge von punkten. die ableitungsfunktion selbst wirst du nie erhalten.

ich hoffe ich habe dir verständlich gemacht, warum du den befehl selber schreiben musst!

du musst nur "suchen und ersetzen" spielen.

ein beliebiges f wird auf 2*f + f^2 abgebildet.

oder anders ausgedrückt:

banane wird auf 2*banane+banane^2 abgebildet.

allerdings muss man aufpassen und klammern setzen z.B. bei a*f. man will ja nicht f einsetzen und dann ein a dran multiplizieren, sondern das objekt, welches a*f genannt wird einsetzen. dann wird eben auch a*f quadriert, d.h:

(a*f)^2.

die klammern sind wichtig, da sonst nur f quadriert wird, du aber a*f quadrieren willst.

also am besten immer um alles eine klammer denken. danach ist alles nur "suchen und ersetzen".

-> (a*f) wird abgebildet auf 2*(a*f)+(a*f)^2 = a*2*f+a^2*f^2 und das erfüllt eben nicht die gleichung, die für die linearität gefordert wird. denn da soll das quadrat beim 2ten a fehlen.

ich habe nicht jede antwort durchgelesen, das wäre einfach zu viel aufwand gewesen. ich las aber dauernd argumente im zusammenhang mit der schule. als mathematiker möchte ich dabei klar stellen, dass der einzige grund, warum menschen mathematik oftmals nicht beherrschen ein mangel an übung ist. einer meiner professoren meinte immer, dasss man für mathematik talent oder fleiß braucht. also entweder fällt einem das logische schließen von vornherein leicht, dann hat man eben glück gehabt, oder man muss hart arbeiten, dann kann man es auch lernen. dies zeigt den unterschied an, wie viel übung ein individuum benötigt. manche verstehen schneller, manche langsamer. das ist klar, das ist überall so. das ist nichts neues. jedoch sagt diese redewendung auch, dass gerade in mathematik ein enorm hoher fleiß benötigt wird, dass man eventuell nur durch talent, falls der fleiß nicht ausreicht, die mathematik verstehen könnte.

im mathematikstudium geht es keineswegs um rechnen, was man in der schule lernt. jedoch fängt man beim studium ganz von vorne an. man lernt dann erstmal, dass es natürliche zahlen gibt und baut ssich daraus rationale und reelle zahlen. man lernt beweismethoden und folgen und reihen und erst dann lernt man üblicherweise was stetigkeit bedeutet (das was man in der schule nie so richtig erklärt bekommen hat). im zuge der stetigkeit lernt man auch grenzwerte von funktionen zu bestimmen (was man vorher bei folgen bereits eingeübt hat). man könnte sagen, dass dies der erste zeitpunkt ist, an dem man mit dem uni-stoff den schulstoff eingeholt hat. vorher wusste man im grund garnichts. man kann noch nicht mal ableiten und man darf es auch nicht! am ende des 1. semesters lernt man dann doch auch noch ableiten. aber man hat im grunde nie gelernt zu rechnen. man leitet stattdessen z.B. die produktregel her. die übungsaufgaben sind dann so gestellt, dass man die produktregel benötigt um eine andere sache zu beweisen. man muss die produktregel aber selbst anwenden ohne hilfe der vorlesung. in der schule muss man 7265983746592 ableitungs-hausaufgaben lösen und fragt das im unterricht auch ab. sowas fehlt in der mathematik. man lernt nur die gesetze. das rechnen folgt ja sofort aus der formel. was man also in der schule lernt, wäre hilfreich, damit man nicht doch am rechnen scheitert, jedoch scheitern die studenten normalerweise an den beweisen, statt den rechnungen. da dies, wie erwähnt, kein bestandteil der schule ist, ist es auch gewiss möglich als jemand, der nur 4er in mathe schreibt, ein mathematikstudium erfolgreich abzuschließen, solange er nur genug fleiß hat (talent wird so jemand vmtl. nicht haben, sonst hätte er ja wenigstens rechnen können müssen. das kann man aber auch nicht so pauschal sagen.)

meine eigentliche kurze aussage ist:

mehr fleiß, dann wirds auch was. das mathematikstudium fängt von vorne an. rechnen zu können wäre hilfreich, aber nicht notwendig. mit der schule hat das alles nichts zu tun. wer kein talent hat, muss eben mehr fleiß haben. auch leute mit talent brauchen dabei mehrere tage für die hausaufgaben. leute, die einen tag vorher anfangen, dann scheitern, und dann alles abschreiben, fallen durch.

ich finde keine der antworten befriedigend.

grundsätzlich gibt es in der mathematik SCHLUSSFOLGERUNGen, die logisch richtig sind. daraus baut sich alles auf. nur wo hat man angefangen?

eine schlussfolgerung ist immer eine "implikation" der form "A => B". ist eine aussage A wahr, so folgt daraus auch, dass B wahr ist.

in dieser fülle an schlussfolgerungen braucht man aber auch kenntnis darüber, welche schlussfolgerungen überhaupt "sinn" machen. z.B. kann ich folgern:

Falls ich superman wäre, könnte ich fliegen. allerdings trifft die voraussetzung "ich bin superman" niemals zu, demnach auch nicht notwendigerweise die schlussfolgerung. (es könnte andere schlussfolgerungen geben, wegen denen ich fliegen könnte)

wenn man also wirklich aussagen über dinge treffen möchte, sollte man auch darauf achten, dass diese dinge überhaupt existieren/zutreffen können. dabei kommen die AXIOME ins spiel. diese sind vom menschen ausgedacht, aber sicherlich orientiert an der "natur". nun hat man ein paar aussagen, die als "wahr" deklariert werden zur verfügung. diese können vorausstzungen für schlussfolgerungen sein. so entdeckt man aufeinander aufbauend immer mehr "wahre" aussagen.

man muss aber nicht unbedingt mit wahren voraussetzungen arbeiten. ich kann auch weitergehend eine theorie aufstellen, was wäre, wenn ich superman bin. außerdem hätte ich dann einen laser-blick. dann könnte ich mich fragen, ob das fliegen und der laserblick evtl. eine neue aussage ergeben etc...

sowas geschieht auch oft in der mathematik. dabei geht es um DEFINITIONEN. ich kann aussagen über menschen treffen, die die eigenschaft "superman sein" erfüllen ("superman sein" muss natürlich auch entsprechend definiert sein). diese menschen nenne ich "super-menschen". dann stelle ich logisch richtig eine theorie darauf auf. ein mathematisches beispiel ist das konzept eines algebraischen körpers. man fordert von einem körper, dass er die vom menschen als sinnvoll deklarierten rechenregeln erfüllt. dann kann man darauf eine theorie aufbauen und coole sätze aufstellen. der begriff körper ist also eine definition, demnach wieder vom menschen erfunden, jedoch das, was die mathematik eigentlich macht, ist das SCHLUSSFOLGERN, also das logisch richtige schließen von voraussetzungen auf folgerungen. demnach ist mathematisch alles "richtig", solange die schlussfolgerungen richtig sind, und diese sind NICHT ERFUNDEN. das einzig erfunden ist das konzept des körpers.

was dann oft geschieht ist, dass jemand zeigt, es gibt tatsächlich algebraische körper! demnach gibt unter den dingen, die außerhalb dieser theorie bereits existierten, tatsächlich dinge, die man als körper bezeichnen kann und über die man aussagen treffen kann. demnach sind körper nun nicht mehr vom menschen erfunden, sondern haben sich aus etwas anderem ergeben.

die frage ist: woraus? etwa wieder aus einer definition? entweder man stellt eine theorie auf, die niemals anwendbar ist, da dies, was am anfang stand, nicht existierte, oder es existierte in form eines axioms.

man unterscheide nun also die 3 begriffe:

AXIOM, DEFINITION, SCHLUSSFOLGERUNG

mathematik ist vom menschen ausgedacht in form von axiomen. alle schlussfolgerungen ergeben sich daraus. auch schlussfolgerungen, die nie anwendbar sind, da sie auf nicht-erfüllbare definitionen basieren, ergeben sich daraus. definitionen sind sozusagen nur namen, aber die essenz der mathematik ist, was man daraus machen kann.

insbesondere kann nicht alles eine definition sein. ich kann nicht definieren: "alle säugetiere sind blau". das ist eine (falsche) aussage. ich kann nur sagen, alle tiere, die blau sind, heißen "säugetiere". nun habe ich einen neuen begriff zur verfügung und kann folgern: "alle säugetiere sind blau". selbstverständlich geht dies nur, falls "säugetier" nicht schon anders vergeben ist, was in der realität der fall ist. definitionen werden aber widerspruchsfrei angelegt (oder zumindest je fachgebiet).

unterscheide also nochmals definitionen und axiome:

definitionen können erfüllt sein müssen aber nicht. axiome sind als "erfüllt" festgelegt.

die mathematik stellt dann möglichst anwendbare schlussfolgerungen (also welche, die auf axiomen basieren) auf.

das muss man nicht, jedoch ist es die mit abstand einfachste methode, um integrale zu berechnen.

das "vorletzte" VOM "vorvorletzten" macht ohnehin schon keinen sinn, da sich der begriff "vorletzte" auf "letztes" bezieht, also nicht gleichzeitig auch im zusammenhang mit dem "vorvorletzten" stehen kann.

möchte ich einen sinn in diesen kaputten satz hineinzwingen, so gilt, dass "vorvorletzter"="letzter". insbesondere gilt, wie schon andere angemerkt haben, dass "letztes"!="letztes" (!= ist das ungleichzeichen).

demnach ist dies alles voller widersprüche."vorvorletzter=letzter" ergibt sowas wie "x-2=x", oder äquivalent "1=0", was in einem mathematischen körper nicht geht. man erhält den null-ring, d.h. alle zahlen sind gleich. es gäbe also 0 geschenke von vornherein. außerdem gelte nun aber, dass "letztes!=letztes", also "0!=0", was ein widerspruch ist.

wenn ich dies aber als gegeben annehme "was wäre wenn?", so erhalte ich also ein widersprüchliches system, weshalb jede antwortmöglichkeit richtig ist.

es gilt: alles ist identisch 0, aber 0 gibt es gleichzeitig trotzdem nicht. die einzige möglichkeit an dem problem herumzukommen ist zu behaupten, dass geschenke generell nicht existieren, d.h. nicht 0 geschenke, sondern "geschenke" ist nicht definiert. dann sprechen wir von der leeren menge. alle elemente erfüllen die obigen widersprüchlichen kriterien, da es kein element an sich gibt. d.h. der widerspruch taucht garnicht erst auf.

damit ist die antwort.

"was zum teufel sind geschenke? das gibt es nicht!"

beides sind schätzungen. es gibt aber vorteile. ein schätzer im statistischen sinn kann erwartungstreu sein. google danach. und lies dir das mal durch:

https://de.wikipedia.org/wiki/Stichprobenvarianz

 bei unbekanntem erwartungswert nimmst du den faktor 1/(n-1).

nichts für x einsetzen. das ist und bleibt eine variable.

fangen wir bei der ersten aufgabe an:

man nehme also eine beliebige zahl, welche größer als 2 ist (x>2) und prüfe, ob m an daraus folgern kann, dass diese zahl auch kleiner als -2 ist (x<-2). diese folgerung wäre falsch. umgekehrt von x<-2 auf x>2 zu folgern ist ebenfalls nicht richtig. wenn keine der beiden implikationen (folgerungen) richtig ist, dann auch nicht die äquivalenz (dann gelten nämlich beide implikationen).

es besteht also kein zusammenhang.

was mit "nicht beantwortet" gemeint ist, weiß ich nicht. ist das vielleicht ein online-test? dann ist das wohl dazu da, dass man die frage auslassen kann, wenn man die antwort nicht weiß. das wird dann vom programm erfasst, d.h. es weiß, dass du die frage nicht wusstest.

im grunde müsste man dies aber nicht auf diese art und weise feststellen. dafür gibt es viele möglichkeiten. vermeide diese antwortmöglichkeit einfach.

genaueres zum x:

was oben steht, oder was gefolgert werden könnte, muss für eine variable gelten, nicht nur für eine bestimmte zahl. das bedeutet, dass du alle zahlen überprüfen musst. anstatt "1>2 und 1<-2" und zugleich "0>2 und 0<-2" etc... zu betrachten, erspart einem die variable die lästige schreibarbeit. es ist hier gefragt, ob aus der eigenschaft einer zahl, z.B.: (x>2) eine andere eigenschaft folgen könnte, z.B.: (x<-2) und dafür müsste man dann eben alle zahlen durchgehen.

dafür steht dann in kurzform die variable x.

für mich ist wesentlicher bestandteil von intelligenz das logische denken. macht man logische fehler, so kann man einfach nicht intelligent sein. niemals!

logik ist aber immer begründet auf ein paar grundannahmen. jede disziplin mag evtl. solche grundannahmen haben. alle, die auf einem dieser gebiete arbeiten werden sich wohl einig darüber sein, was diese grundannahmen sind.

wenn du also sagst, du bist intelligenter als wer anders, dann muss für die vergleichbarkeit auch dieser dieselben grundannahmen besitzen wie du. andernfalls kann man das nicht "messen", wer klüger ist.

da es um soziale intelligenz geht in deinem fall, musst du zuerst überprüfen ob du die "offiziel anerkannten" grundannahmen zur sozialen intelligenz hast. anderfalls bist du nicht vergleichbar und damit auch nicht der intelligenteste. nicht etwa, weil du dümmer wärest, sondern weil dieser begriff für dich nicht definiert ist.

aber das macht es gerade UNMÖGLICH von sozialer intelligenz zu reden. es gibt dafür keine wissenschaft, die sauber auf axiomen (wie etwa mathematik) begründet worden wäre. außerdem ist die wahl der grundannahmen subjektiv. also ohne "wissenschaft" auf axiomen begründet ist die wahrscheinlichkeit, dass jeder in deinem umfeld dieselben axiome benutzt verschwindend gering. unterhalte dich erst mit deinem umfeld, ob dieselben annahmen hat. vielleicht lernst du daraus neue ansichten der welt kennen und änderst deine eigenen axiome ab. zB das axiom, dass du du der beste der welt bist, welches du heimlich für dich verwendest.

erst bei gleichen axiomen, kannst du so etwas von dir behaupten.

hättest du gesagt: "bin der mathematisch intelligenteste", dann hätte zumindest per so bereits etwas wahres dran sein können, weil es zumindest überprüfbar wäre rein theoretisch, wenn auch sehr schwierig, aber so hast du noch keine chance!

komplizierte möglichkeit ohne nachdenken zu müssen:

satz von L'Hospital, grenzwert ist 0.

einfache möglichkeit mit ein bisschen nachdenken:

umformen auf 2/wurzel(ln(x)), offenbar geht das gegen 0.

die detailreichen zwischenschritte musst du natürlich noch selber einfügen.

wenn das wirklich mit mathematik in verbindung stehen soll, dann ist das nur ein name.

so wie f(x)=x^2. da ist x ein name für die variable der funktion, oder in y=mx+t, so ist t der name für den y-achsen-abschnitt, etc...

C wird oft für konstanten (englisch: constant) verwendet, und wenn es mehrere konstanten gibt, die aber nur mathematische bedeutung haben, also keinen von der physik motivierten namen besitzen, nennt man all diese zahlen ähnlich.

etwa C1, C2, C2, ... oder eben Cdach (ich will jetzt nicht suchen wie man das hier schreibt mit einem dach darüber), Ctilde, Cstrich, etc...

das dach an sich hat keine konventionelle mathematische bedeutung, vielleicht wurde im kontext trotzdem eine bedeutung definiert. ich denke aber, dass das nur ein name für eine zahl ist.