Warum sind Donuts das selbe wie Kaffeetassen?
Ich habe soweit recherchieren können, dass beide das selbe Geschlecht ( = 1 ) haben, nach der Clebschen Benennung, man also bei beiden nur einen Schnitt entlang disjunkter, einfach geschlossener Kurven machen kann, sodass die Fläche danach immer noch zusammenhängend ist. Aber was dieser Satz, den ich gerade von Wikipedia halb abgeschrieben habe, bedeutet, wird nirgendwo erklärt. Ich weiß, was eine Topologie und was Mannigfaltigkeiten sind, aber ich würde auch gerne präzise diesen Mathe-Witz erklären können.
PS: Vsauce behauptet, der Mensch sei bzgl. seines Gefäßsystems ein Donut mit 7 Löchern.
3 Antworten
Du kannst eine Kaffeetasse topologisch auf ein Gebilde mit einem Loch reduzieren: Zuerst senkst du den Rand der Tasse so weit ab, bis er auf dem Boden ist; dann kannst du den Boden im Prinzip zu einem Punkt zusammenziehen.
Was du nicht reduzieren kannst, ist der Henkel der Kaffeetasse!
Am Ende bleibt der Henkel, der ein Loch hat, mit der Tasse, die sich topologisch auf einen Punkt reduzieren lässt.
Ein Donut ist ebenfalls ein Gebilde mit einem Loch in der Mitte.
Daher sind topologisch beide gleichwertig. (Das Loch im Donut entspricht dem Loch im Henkel.)
Sie haben beide ein (1) Loch. Etwas genauer und sehr viel komplizierter erklärt das ein Teilgebiet der Mathematik, das sich m.W. Topologie nennt.
Kann man sich näher mit beschäftigen, wahrscheinlich oder im Einzelfall auch ohne wahnsinnig zu werden, muss man aber nicht.
Wenn Du weisst, was eine Topologie und eine Mannigfaltigkeit ist, dann sollte Dir eigentlich auch der Begriff der stetigen Abbildung bekannt sein. Kaffeetasse und Torus sind deswegen topologisch äquivalent, weil sie durch Homöomorphismen auseinander hervorgehen…
Ja, Homöomorphismen kenne ich , aber das ist ja immer noch sehr allgemein vorgetragen und nichts anderes als das Zitat, was ich oben gebracht habe. Wo wird das denn mal mathematisch erklärt?