Warum sei der arctan(x) abgeleitet 1/(1+x^2)?

Answer 1

[Jangler13]

Das folgt aus der Umkehrregel.

Comments

[oij83]

Okay danke, ich kenne die Umkehrregel, aber dann müsse das doch nicht 1/1+x^2 sein sondern 1/1+arctan(x) oder sowas?

[Jangler13]

@oij83

arctan(x)' = 1/(tan'(arctan(x))

und das ist 1/(1+x^2) wenn du die Ergebnisse oben benutzt

[oij83]

@Jangler13

Aber waurm stecken wir den arctan in tan rein?

[Jangler13]

@oij83

In die Ableitung von Tan*

Weil die Umkehrregel so lautet.

[oij83]

@Jangler13

Also was ich irgendwie garnicht kapiere, wir haben stehen tan(x)´ das haben wir abgeleitet zu 1+tan(x)^2

heißt:

tan(x)´ = 1+tan(x)^2

Und von da kommen wir dann wir irgendwie auf den arctan(x), warum wurde da jetzt der arctan(x) überhaupt ins Spiel gebracht?

[oij83]

@oij83

Hat sich geklärt, danke die!

Answer 2

[YBCO123]

Es ist zunächst:

$\tan\left(\arctan\ x\right)=x$

Ableiten mit Kettenregel:

$\left(1+\tan^2\left(\arctan x\right)\right)\cdot\left(\arctan x\right)'=\ 1$

Das ist aber

$\left(1+x^2\right)\cdot\left(\arctan x\right)'=\ 1$

und daher

$\left(\arctan x\right)'=\ \frac{1}{1+x^2}$

Comments

[oij83]

aber warum stecke ich den arctan in tan rein?

[Jangler13]

@oij83

Weil du weißt, das das =x ist weswegen die Ableitung davon =1 sein muss.

[YBCO123]

@oij83

weil die Kettenregel so funktioniert:

f(g(x))' = f'(g(x)) * g'(x)

hier steckt auch das g(x) im f'(x)