Aleitung von arctan x/y nach x?

F (x)= arctan (×/y) . Was ist dann f ' (x) nach x abgeleitet? Mit erklärung bitte

Answer 1

[MeRoXas]

f'(x)=[arctan(x/y)]'*(x/y)'

f'(x)=[arctan(x/y)]'* 1/y

Standardableitung von arctan(x): 1/(x²+1)

-->[arctan(x/y)]'= 1/([x²/y²] + 1)

--> f'(x)= 1/([x²/y²] + 1) * 1/y

=y/[x²+y²]

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Höheres Fachsemester

Comments

[xzxLukasxzx]

Wieso lässt man es nicht 1/ [(x²/y)  +y] sondern vereinfacht man es weiter?

[Zwieferl]

@xzxLukasxzx

Ich würde sagen: Kosmetik → dadurch hast du keinen Dopplebruch.

Answer 2

[poseidon42]

Betrachte die Verkettung einer differenzierbaren Funktion f und ihrer Umkehrfunktion f^-1 = g :

(fog)(x) = f(g(x)) = f(f^-1(x)) 

Wir differenzieren nun mit der Kettenregel nach x:

---> ((fog)(x))` = f´(g(x)) * g´(x)

Nun gilt jedoch ebenso:

(fog)(x) = x   , da g die Umkehrfunktion von f ist.

Wir differenzieren also beide Seiten nach x, wobei wir zuvor schon die linke Seite berechnet haben:

--> (fog)(x) = x    II d/dx

-->  f´(g(x)) * g´(x) = 1  II *1/f´(g(x))

Wir erhalten also:

g´(x) = 1/f´(g(x))

die Ableitung der Umkehrfunktion.

(Unter der Annahme der "Vernünftigkeit" der Funktion f und g)

Betrachten wir nun das Beispiel:

f(x) = tan(x)   und   g(x) = arctan(x)

Wir berechnen zunächst die erste Ableitung von f nach x:

f´(x) = (sin(x)/cos(x))´    II Quotientenregel

f´(x) = (cos(x)² + sin²(x))/cos²(x) 

---> f´(x) = 1 + tan²(x)

(Alternativ auch mit dem Satz des Pythagoras: cos²(x) + sin²(x) = 1

--> f´(x) = 1/cos²(x)  )

Wir berechnen nun die erste Ableitung von g mithilfe der oben "hergeleiteten" Formel:

--> (arctan(x))´ = 1/f´(arctan(x))    II  f´(x) = 1 + tan²(x)

--> (arctan(x))´ = 1/(1 + tan²(arctan(x)))    II tan(arctan(x)) = x

--> (arctan(x))´ = 1/(1 + x²)

Wir erhalten also entgültig als Ableitung des Arcustangens:

(arctan(x))´ = 1/(1 + x²)

Bezüglich nun deiner Aufgabe:

Sei f(x,y) = arctan(x/y)  gegeben. Gesucht sei die Ableitung nach x. Wir differenzieren mit der Kettenregel:

(arctan(x/y))´ = (x/y)´  * (arctan(z)) ´      mit  z = x/y

Wie oben gezeigt folgt: (arctan(x))´ = 1/(1 + x²)

--> (arctan(x/y))´ = (1/y)  * (1/(1 + z²)) 

--> (arctan(x/y))´ = (1/y)  * (1/(1 + (x/y)²)) 


Damit erhalten wir also als Lösung:

(arctan(x/y))´ = (1/y)  * (1/(1 + (x/y)²)) = y/(y² + x²)

(arctan(x/y))´ = y/(y² + x²)