Warum kann ich dadurch sagen, dass meine Reihe höchstens so schnell wie n^2 wächst?

Was ich nicht kapiere, ich habe stehen 2n^2+n^2+1 ist kleiner gleich 4n^2, ich habe nicht stehen, dass das kleiner gleich n^2 ist, also warum reicht das trotzdem als Begründung, damit ich sagen kann ((n+1/n)^2+n^2) wächst höchstens so schnell wie n^2?

Answer 1

[MeRoXas]

Guck doch einfach mal auf die Definition, die du letztens selbst gepostet hast:

Definitionsgemäß hast du hier mit a_n=(1+1/n)²+n², b_n=n² und C=4 eben, dass deine Folge höchstens so schnell wie n² wächst:

$\left|a_n\right|=\left|\left(1+\frac{1}{n}\right)^2+n^2\right|\le4n^2=4\cdot\left|b_n\right|$

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Höheres Fachsemester

Comments

[oij83]

Ja das ist mir eigentlich auch klar, aber was ist dann wenn ich z. B. habe:

x<58/n^2

im Endeffekt ist 58/n^2 ja nichts anderes als 58*n^-2 kann ich dann jetzt auch einfach sagen, dass x höchstens so schnell wie n^-2 wächst?

[MeRoXas]

@oij83

Ja, wenn das ganze eben ab einem bestimmten Folgeindex immer gilt. Beim Beispiel im Bild gilt das ab n=1 immer.

[oij83]

@MeRoXas

Achso, ja dann ist es ja klar, vielen Dank! Also zählt am Ende eigentlich nur das n!

[MeRoXas]

@oij83

Was zählt, ist einfach, dass du ab einem gewissen n irgendeine Abschätzung findest, die dir dann erlaubt, a_n<C*b_n zu erhalten. Wenn C positiv ist, hast du dann, dass a_n höchstens so schnell wächst wie b_n.