Warum ist lim(h→0) (a^h-1)/h = ln(a)?
Meine Frage ist: Warum ist lim(h→0) (a^h-1)/h = ln(a)? Ich würde gerne eine exakte Herleitung/Rechnung dazu haben.
3 Antworten
Schon mal etwas vom Satz von l'Hospital gehört? :) Den wendet man hier an, weil wir einen Quotienten haben und den Grenzwert haben wollen, den man mit einer Null im Nenner nicht bilden kann (grob gesagt).
Wir nennen mal das im Zähler f(h) und das im Zähler g(h), also:
f(h) = a^h - 1 und g(h) = h
Nach dem Satz leiten wir nun beides getrennt ab, und es ergibt sich:
f'(h)= ln(a)*a^h ... (wenn du nicht weißt, warum, schau nochmal in die Ableitungsregeln)
g'(h) = 1
Jetzt setzen wir das wieder in den Bruch ein und erhalten:
lim(h->0) [ ln(a)*a^h / 1 ]
Wenn wir h gegen null laufen lassen, wird a^h = 1 (da a^0=1) und es ergibt sich nur noch
ln(a)*1 / 1 ] = ln(a)
Wenn es dich interessiert:
http://www.mathebibel.de/regel-von-lhospital
LG
Das wenn f(x)=a^x die erste Ableitung f'(x)=a^x*ln(a) ist, wollte ich ja gerade versuchen zu zeigen, nur wusste ich nicht, warum lim(->0) (a^x-1)/h=ln(a) ist. Mit dem Differentialqoutienten lim(h->0) (f(x+h)-f(x))/h komme ich nach einsetzen von f(x) zu lim(h-0) (a^(x+h)-a^x)/h. Jetzt a^x ausklammern und vor den Limes ziehen: => a^x*lim(h->0) (a^h-1)/h. Und in den Lehrbüchern steht, dass die erste Ableitung f'(x) von der Funktion f'(x)=a^x*ln(a) ist. Demzufolge muss ja lim(h->0) (a^h-1)/h = ln(a) sein. Genau das verstehe ich nicht.
Es gilt:
(a^h-1)/h = (e^(h*ln(a)) -1 )/h
Jetzt erweitere um ln(a)/ln(a):
= (e^(h*ln(a)) -1 ) * ln(a) / (h*ln(a))
Nimm den Grenzwert h->0, dann geht der nachfolgende Ausdruck gegen 1
(e^(h*ln(a)) -1 )/ (h*ln(a)) ----> 1
und was bleibt ist
1*ln(a) = ln(a)
Am schnellsten mit Taylor:
(a^h - 1)/h = (e^(ln(a)*h) - 1)/h
Mit e^x = 1 + x + x²/2 + O(x³) für x --> 0 (Taylor )
folgt hier also:
e^(ln(a)*h) = 1 + ln(a)*h + O(h²) (Entwicklung bis erster Ordnung)
Einsetzen liefert uns:
(e^(ln(a)*h) - 1)/h = (1 + ln(a)*h + O(h²) - 1)/h = ln(a) + O(h)
Mit ln(a) + O(h) --> ln(a) für h --> 0
Alternativ kann man dies auch mit dem Satz von L´Hopital machen:
lim(h->0){ (e^(ln(a)*h) - 1)/h } = lim(h->0){ (ln(a)*e^(ln(a)*h)/1) = ln(a)*e^0
Und somit analog: (e^(ln(a)*h) - 1)/h --> ln(a) für h->0
wenn h-->0 geht, dann wird der Ausdrück trotzdem unbestimmt (0/0),denn e^(0*ln(a)-1 = 0 bzw. h=0, da ist es egal, ob ich mit ln(a)/ln(a) erweitere, es kommt trotzdem 0/0 raus.