Warum ist eine Gerade, eine Kurve, die einen unendlichen krümmungsradius hat?

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4 Antworten

Jetzt müsste man wissen, was ihr schon alles hattet, da es verschiedene Ansätze zur Beantwortung gibt.

Ich machs mal über Ableitungen bzw. Funktionentheorie.

Gleichung einer Geraden:
y = ax + b

Die erste Ableitung ergibt die Steigung:
y' = a

Die zweite Ableitung gibt die Krümmung an:
y'' = 0

Formel für den Krümmungsradius rho:
ρ = (1 + y'^2)^3/2 / y''

Was im Zähler steht, interessiert gerade nicht, aber im Nenner steht y''. Wenn im Nenner 0 steht, wird der Krümmungsradius ρ unendlich.

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Je größer der Radius eines Kreises ist, je gerader ist der Umfang des Kreises über eine gewisse Entfernung gesehen. Vergleicht man einen Kreis mit einem Umkreis von beispielsweise einem Meter und dem von einem Radius von 100 Metern wird der Unterschied im Umfang deutlich. Dies setzt sich dadurch fort, dass ein Kreis mit einem Radius von mehreren Kilometern schon ziemlich gerade erscheint was dem Umfang betrifft und umso mehr im Radius der Erde den Anschein erweckt, dass die Erde flach sei, was sie aber nicht ist. Ein unendlicher Radius ist ein Extremfall und ohne Grenzwertberechnung kommt man dahingehend nicht weiter, aber dass eine Gerade einen unendlichen Krümmungsradius hat, ist dahingehend eigentlich nur eine logische Konsequenz, da sie keine messbare Krümmung hat und sich zwei Senkrechten an verschiedenen Punkten der Gerade niemals kreuzen.

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Naja, wenn du einen Kreis nimmst mit 100 Metern Krümnungsdurchmesser und dann davon 3 cm rausschneidest, dann ist es dann schon fast eine Gerade.
Somit ist eine Gerade eine mit unendliche Krümnungsdurchmesser.
Nur so kann ein Kreis eigentlich gerade sein.

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Ist vergleichbar damit, dass wir Sonnenstrahlen auf der Erde (unendlich weit und kurzer Abschnitt) als Parallelstrahlen ansehen, obwohl es Zentrahlstrahlen sind!

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