warum ist eine funktion surjektiv wenn sie rechtsinvertierbar ist?

1 Antwort

Sei erstmal f: M->N gegeben.

Angenommen, die Funktion f ist linksinvertierbar, d. h. es gibt eine Funktion g mit gf = id.

Seien nun x, y gegeben mit f(x) = f(y). Dann ist auch

x = id(x) = g(f(x)) = g(f(y)) = id(y) = y.

Also ist f injektiv.

Angenommen, die Funktion f ist rechtsinvertierbar, d. h. es gibt eine Funktion g: N-> M mit fg=id.

Sei nun ein y aus N gegeben. Um die Surjektivität von f zu zeigen, muss ich ein x aus M finden mit f(x) = y.

Setze x = g(y). Dann ist f(x) = f(g(y)) = id(y) = y.

Also ist f surjektiv.

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