Warum ergibt das Folgende 1/2?

Answer 1

[mihisu]

Kennst du die Regel von L'Hospital? Diese Regel könnte man hier anwenden.

$\lim\limits_{x\to 0}\frac{1-\cos(x)}{x^2}\overset{\text{L'Hospital}}{=}\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{2x}\overset{\text{L'Hospital}}{=}\lim\limits_{x\to 0}\frac{\cos(x)}{2}=\frac{\cos(0)}{2}=\frac{1}{2}$

============

Ansonsten könnte man auch die Reihenentwicklung der cos-Funktion verwenden...

$\lim\limits_{x\to 0}\frac{1-\cos(x)}{x^2}$

$=\lim\limits_{x\to 0}\frac{1-\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^k}{\left(2k\right)!}x^{2k}}{x^2}$

$=\lim\limits_{x\to 0}\frac{-\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^k}{\left(2k\right)!}x^{2k}}{x^2}$

$=\lim\limits_{x\to 0}\left(-\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^k}{\left(2k\right)!}x^{2k-2}\right)$

$=\lim\limits_{x\to 0}\left(-\frac{\left(-1\right)^1}{2!}x^{0}-\sum\limits_{k=2}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^k}{\left(2k\right)!}x^{2k-2}\right)$

$=\lim\limits_{x\to 0}\left(\frac{1}{2}-\underbrace{\sum\limits_{k=2}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^k}{\left(2k\right)!}\underbrace{x^{2k-2}}_{\to 0}}_{\to 0}\right)$

$=\frac{1}{2}$

Bzw. mit „Pünktchenschreibweise“ ist das vielleicht für dich etwas ersichtlicher...

$\lim\limits_{x\to 0}\frac{1-\cos(x)}{x^2}$

$=\lim\limits_{x\to 0}\frac{1-(1-\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{4!}x^4-\frac{1}{6!}x^6+\ldots)}{x^2}$

$=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\frac{1}{2!}x^2-\frac{1}{4!}x^4+\frac{1}{6!}x^6-\ldots}{x^2}$

$=\lim\limits_{x\to 0}\left(\frac{1}{2!}\underbrace{-\frac{1}{4!}\underbrace{x^2}_{\to 0}+\frac{1}{6!}\underbrace{x^4}_{\to 0}-\ldots}_{\to 0}\right)$

$=\frac{1}{2!}=\frac{1}{2}$

Answer 2

[pearl728]

Du musst die Regel von de L’Hospital anwenden:

Dabei kommt nach 2-maliger Anwendung folgendes raus:

$\lim_{x\rightarrow0}\left(\frac{1-\cos\left(x\right)}{x^2}\right)=\lim_{x\rightarrow0}\left(\frac{\cos\left(x\right)}{2}\right)=\frac{1}{2}$