Warum ist die Formel für das Volumen Grundfläche mal Höhe?
Und ja ich weiß dass das nicht für alle Körper gilt
6 Antworten
Für Körper, bei denen alle Querschnittsflächen zu Boden- und Deckelfläche kongruent sind, stimmt das. Es stimmt auch für Körper, die in jeder Höhe (zwischen Boden und Deckel) denselben Querschnitt haben - das nennt sich Cavalierisches Prinzip.
Dass man gerade Grundfläche mal Höhe nimmt, liegt daran, dass man das Volumen eines Würfels auf diese Weise definiert hat und allgemeiner geformte Körper durch immer kleinere Würfel immer genauer annähert. (Ein noch allgemeineres Verfahren wird beim oben verlinkten Wikipedia-Artikel erwähnt, aber Maßtheorie, Lebesgue-Integral etc. gehören definitiv nicht mehr zum Schulstoff.)
weil du die fläche sozusagen aufeinander stackst/legst
LG Alexander
Das ist zwar etwas "volkstümlich" ausgedrückt, aber es ist richtig.
Um zu erklären, was passiert, wenn die Fläche von der aktuellen Höhe abhängt (Pyramide, Kugel) braucht man dann aber Integralrechnung (höhere Mathematik).
Das gilt nicht für alle Körper, z.B. für Körper ohne Grundfläche (Beispiel: Kugel) oder Körper wie den Kegel (würde man beim Kegel nur Grundfläche mal Höhe rechnen würde man das Volumen eines Zylinders mit dieser Grundfläche und Höhe ausrechnen.
Die Erklärung warum man das macht, wenn es geht, hat schon @Simulator... genannt. (siehe sein/ihr/... Kommentar)
Ich finde es faszinierend, dass schon die alten Griechen vor über 2000 Jahren wussten, dass sich die Volumen von Zylinder, Halbkugel und Kegel bei gleichem Radius und gleicher Höhe wie 3 ÷ 2 ÷ 1 verhalten.
Stelle dir einen Quader vor der aus Würfeln besteht z.B 5 x 6 x 7
Die Anzahl der Würfel des Quaders ist ein Maß für das Volumen und diese Anzahl erhält man in dem man fünf mit sechs und sieben multipliziert oder durch Abzählen der Würfel was zum gleichen Ergebnis führt
Ist es ja nicht immer. Nur dann, wenn ein Körper auf allen Ebenen den gleichen Querschnitt hat.
Also nicht Pyramide, Kegel, Kugel usw.
Stell Dir vor, der Körper ist ein Stapel aus gleichartigen Pappscheiben.
Dann musst Du nur das Volumen einer Pappscheibe mit der Anzahl an solchen Scheiben multiplizieren.