Wann ist eine Funktion Bijektiv?

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Eine Fn ist bijektiv, wenn sie insgesamt eine vollständige Paarbildung zwischen den Elementen von Definitionsmenge und Zielmenge statt. Zur 1. Frage:y=x+1 stellt eine bij Fn dar, da jeder x Wert kann eingesetzt werden und jeder y Wert hat einen x Wert als Partner,also bijektiv. 2.) Bei y=x² ist das nicht der Fall. Du kannst jeden x Wert einsetzen, aber der y Wert -3 hat keinen x Wert Partner. Quadratische Fuktionen sind also injektiv aber nicht surjektiv, daher nicht bijektiv. Ursprünge haben nix mit inj oder surj zu tun.

Wieso sollte eine quadratische Funktion injektiv sein - das ist nur der Fall, wenn jede Zahl höchstens einen Partner hat. Mindestens einen Partner zu haben ist die (eine) Definition von surjektiv. Dass man alles einsetzen kann, hat nix mit surjektiv und injektiv zu sein, sondern ist eine Frage der Bestimmung, wo die Funktion definiert ist.

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@FataMorgana2010

Genau richtig was FataMorgana sagt.

Du müsstest den Definitionsbereich einschränken, um eine injektive quadratische Funktion zu bilden.

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Eine Funktion ist bijektiv, wenn es für jedes Element y aus der Wertemenge genau ein Element x aus der Defintionsmenge gibt, so dass f(x) = y gilt. Wichtig ist es, genau zu schauen, wie die Definitionsmenge definiert ist! Bijektivität hat nix damit zu tun, ob der Graph durch den Ursprung geht. Quadratische Funktionen auf ganz R sind in der Regel nicht bijektiv, wenn man die Definitionsmenge einschränkt, können sie es sein.

Du kannst das am Graphen erkennen: Bei einer bijektiven Funktion schneidet jede Parallele zur X-Achse (und die x-Achse selber auch) den Graphen genau einmal, also nicht keinmal und nicht mehr als einmal. Eine quadratische Funktion hat immer einen Bereich, wo die Parallelen die Parabel gar nicht schneiden und einen, wo jede die Parallelen jeweils zweimal schneiden (wenn sie auf ganz R definiert werden). Also nicht bijektiv.

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quadratische funktion ist nicht bijektiv, weil zb bei y=x² -2 und auch +2 auf 4 zugeordnet werden

Jein. Das hängt vom Definitions- und Wertebereich ab. Eine Normalparabel f(x) = x^2 ist links und rechts der y-Achse (d.h. für x <= 0 bzw. x >= 0) bijektiv, nicht jedoch wenn der Definitionsbereich ganz |R umfasst.

Bijektiv heißt in diesem Zusammenhang etwa soviel wie "eindeutig", d.h. wenn f(x1) = f(x2), dann ist garantiert auch x1 = x2. (Dass es nur ein y = f(x) für jedes x gibt ist hier ja klar.)

Im Allgemeinen muss z.B. eine Funktion streng monoton sein um bijektiv sein zu können (denn sonst gibt es für mehrere x die gleichen Werte f(x)).

Ja, fehlt aber noch die Existenz: Zu jedem y aus dem Wertebereich muss es auch ein x geben. Sonst ist die Funktion nicht surjektiv - also auch nicht bijektiv. Bijektivität bedeutet ja auch die Existenz einer Umkehrfunktion - und da muss es auch für jedes Element des Wertebereichs ein Element der Definitionsmenge geben. Daher ist eine Normalparabel x^2 auch nicht bijektiv, wenn du nur den Defintionsbereich einschränkst, du musst auch die Wertemenge einschränken, hier auf R+ (inkl. 0). Denn -1 bräuchte ja sonst ein Urbild.

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@FataMorgana2010

Zur Klarstellung: ich meine mit Wertebereich die Zielmenge, also die Menge in die hinein abgebildet wird. In manchem Schulbüchern ist damit das Bild gemeint, also die Menge auf die abgebildet wird - bitte nicht verwechseln!

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